Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

252 Funktionen in zwei Variablen Analog sieht man, dass ∂ f _ ∂ x (a, b) die Ableitung f’ (–, b) (a) von f (–, b) an der Stelle a ist. Diese Rechnung führt zu einer Vereinfachung beim Berechnen der partiellen Ableitungen: Man kann die partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (a, b) berechnen, indem man die („gewöhnliche“) Ableitung von f (–, b) an der Stelle a berechnet. Analog ist die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (a, b) die Ableitung von f (a, –) an der Stelle b. Etwas schlampig, aber kürzer formuliert: „Nach der einen Variablen partiell differenzieren“ bedeutet, die „andere Variable als Konstante betrachten und dann gewöhnlich differenzieren.“ Da wir das partielle Differenzieren auf das gewöhnliche Differenzieren zurückgeführt haben, können wir die Differentiationsregeln wie Summen-, Produkt-, Quotienten und Kettenregel auch für das partielle Differenzieren verwenden. 964 Berechne die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y von f mit f(x, y) = 1 – 2x + 5y – 4xy 2 + x 2 y 2 . Für ∂ f _ ∂ x betrachten wir y als Konstante und erhalten ∂ f _ ∂ x (x, y) = ‒ 2 – 4 y 2 + 2xy 2 . Für ∂ f _ ∂ y betrachten wir x als Konstante und erhalten ∂ f _ ∂ y (x, y) = 5 – 8xy + 2 x 2 y. 965 Berechne die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. a. f(x, y) = x 2 + y 2 c. f(x, y) = 2x 2 + 3xy + 4y 2 e. f(x, y) = x 3 – 2x 2 y + 4xy 2 + 2y 3 b. f(x, y) = 4x 2 – 3y 2 d. f(x, y) = 5x 2 – 7xy – 6y 2 f. f(x, y) = 2x 3 + 3x 2 – 6x + 8 966 Berechne die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. a. f(x, y) = 4x + 2xy + y 2 c. f(x, y) = 1 _ 2 x 2 + 2x 2 y + 5y 2 b. f(x, y) = 3x 3 + 5xy + 2y d. f(x, y) = 1 _ 3 x – 1 _ 2 xy 3 + 1 _ 2 y 2 967 Ermittle die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. Verwende dazu die Produktregel. a. f(x, y) = (x + 3y)·(2x – 3y) c. f(x, y) = 2 1 _ 2 x + xy 3 ·(4xy – 3y 2 ) b. f(x, y) = (x 2 – 2y)·(2x + 3y 3 ) d. f(x, y) = (x 2 y – 3xy)·(7x 3 – y) 968 Gib die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f an. Verwende dazu die Kettenregel. a. f(x, y) = (5x + 7y) 4 c. f(x, y) = (3x – 2xy + y 3 ) 5 b. f(x, y) = (2x + xy + y) 2 d. f(x, y) = (x 3 + 2xy 2 ) 2 969 Berechne die partiellen Ableitungen ∂ f _ ∂ x und ∂ f _ ∂ y der Funktion f. Verwende dazu die Quotientenregel. a. f(x, y) = x – y _ x 2 + 2y b. f(x, y) = 2x 2 + y _ x + 3y 2 c. f(x, y) = x 3 + 1 _ 2 xy – y 3 __ x 2 – y 2 d. f(x, y) = x – y _ x 2 + y 2 970 Löse die Aufgaben 967– 969 mithilfe eines geeigneten CAS. Vergleiche die Ergebnisse. 971 Ordne der Funktion f die passende partielle Ableitung zu. a. f(x, y) = (x – 2y)(x + 3y 2 ) A ∂ f _ ∂ x (x, y) = 6xy – 18y 2 – 2x B ∂ f _ ∂ x (x, y) = 6x 2 + 2xy + 2y b. f(x, y) = (2x + y)(x 2 + y) C ∂ f _ ∂ x (x, y) = 3y 2 – 2y + 2x D ∂ f _ ∂ x (x, y) = x 2 + 2x + 2y partielle Ableitungen als gewöhnliche Ableitungen interpretieren ggb/mcd/tns p34a8c partiell differenzieren B B B B B B B C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv