Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

250 Funktionen in zwei Variablen Wir nennen c 1 die partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (a,b) und schreiben dafür ∂ f _ ∂ x (a, b) (sprich: de-f nach de-x von (a, b)). Ebenso nennen wir c 2 die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (a, b) und schreiben dafür ∂ f _ ∂ y (a, b) (sprich: de-f nach de-y von (a, b)). Die Funktion ∂ f _ ∂ x , die jedem Zahlenpaar (a, b) die partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (a, b) zuordnet, heißt partielle Ableitung von f nach x . Die Funktion ∂ f _ ∂ y , die jedem Zahlenpaar (a, b) die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (a, b) zuordnet, heißt partielle Ableitung von f nach y. Die Polynomfunktion f partiell nach x oder nach y zu differenzieren heißt, die Funktion ∂ f _ ∂ x oder ∂ f _ ∂ y zu berechnen. Die lineare Funktion D f, (a, b) : R 2 ¥ R mit D f, (a, b) (x, y) = ∂ f _ ∂ x (a, b)·x + ∂ f _ ∂ y (a, b)·y nennen wir das Differential von f an der Stelle (a, b) . Der Graph des Differentials ist zur Tangentialebene parallel und enthält den Ursprung (0, 0, 0). 959 a. Berechne die partiellen Ableitungen der Funktion Mult: R 2 ¥ R , (x, y) ¦ x·y. b. Ermittle das Differential von Mult an der Stelle (1, 1) und berechne damit näherungsweise das Produkt von 1,019 und 1,037. a. Es ist Mult(x, y) = x·y = ((x – a) + a)·((y – b) + b) = a·b + b·(x – a) + a·(y – b) + (x – a)·(y – b). Also gilt für alle Zahlenpaare (a, b): ∂ Mult _ ∂ x (a, b) = b und ∂ Mult _ ∂ y (a, b) = a. b. Es ist ∂ Mult _ ∂ x (1, 1) = 1 und ∂ Mult _ ∂ y (1, 1) = 1. Das Differential D Mult, (a, b) von Mult an der Stelle (1, 1) ist die lineare Funktion mit D Mult, (1, 1) (x, y) = ∂ Mult _ ∂ x (1, 1)·x + ∂ Mult _ ∂ y (1, 1)·y = 1·x + 1·y = x + y 1,019·1,037 ≈ Mult(1, 1) + D Mult, (1, 1) (1,019 – 1, 1,037 – 1) = 1 + 0,019 + 0,037 = 1,056. 960 Berechne für die Funktion f mit f(x, y) = x·y 2 das Differential an der Stelle (2, 2), und ermittle so näherungsweise den Funktionswert an der Stelle (2,02, 2,04). 961 Schreibe die Funktionswerte f(x, y) der Funktion f in der Form f((x – a) + a, (y – b) + b) und dann in der Form f(a, b) + c 1 ·(x – a) + c 2 ·(y – b) + u(x, y)·(x – a) 2 + v(x, y)·(y – b) 2 + w(x, y)·(x – a)·(y – b), wobei c 1 und c 2 Zahlen und u, v und w Polynome in zwei Variablen sind. a. f(x, y) = x + 2y b. f(x, y) = 3x 2 + 2xy c. f(x, y) = x 3 + y 3 d. f(x, y) = xy 2 + x 2 y 962 Untersuche den Graphen der Funktion f: R 2 ¥ R , (x, y) ¦ x 2 + y 2 in einer Umgebung des Punktes (1, 1). Gehe dazu wie folgt vor: a. Berechne das Differential von f an der Stelle (1, 1). b. Erstelle für Zahlenpaare (a, b) mit a und b jeweils aus dem Intervall [0,9; 1,1] eine Wertetabelle und vergleiche f(x, y) mit h(x, y) = f(1, 1) + D f, (1, 1) (x – 1, y – 1). c. Zeichne mithilfe eines geeigneten CAS die Graphen der Funktionen f und h. Beschreibe das Bild. d. Gib an, für welche Zahlenpaare sich die Funktionswerte von f und h um weniger als 1 _ 10 unter- scheiden. partielle Ableitungen einer Polynom- funktion an einer Stelle partielle Ableitung einer Polynom- funktion partiell differenzieren Differential einer Polynom- funktion an einer Stelle ggb/mcd/tns 8r7s23 partielle Ableitungen berechnen B A, B A, B A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv