Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

249 6.2 Partielle Ableitungen Ich lerne die partiellen Ableitungen von Funktionen in zwei Variablen kennen und diese damit durch lineare Funktionen anzunähern. Partielle Ableitungen von Polynomfunktionen Wir betrachten die Polynomfunktion f mit f(x, y) = 2 + 3x – y + y 2 – x 2 y und die lineare Funktion h mit h(x, y) = 2 + 3x – y. Berechnen wir Funktionswerte von Argumenten nahe bei (0, 0), so erhalten wir beispielsweise f(0,01, 0,02) = 2,010398 und h(0,01, 0,02) = 2,01. Wir können die Funktionswerte von f in einer kleinen Umgebung von (0, 0) also recht gut durch die Funktionswerte der linearen Funktion h annähern. Wir nennen h auch die lineare Näherung von f an der Stelle (0, 0). Wollen wir dasselbe für Funktionswerte in einer kleinen Umgebung von (1, 3) tun, schreiben wir f(x, y) als f((x – 1) + 1, (y – 3) + 3), multiplizieren dann aus und fassen zusammen: f(x, y) = f((x – 1) + 1, (y – 3) + 3) = = 2 + 3((x – 1) + 1) – ((y – 3) + 3) + ((y – 3) + 3) 2 – ((x – 1) + 1) 2 ((y – 3) + 3) = = 2 + 3((x – 1) + 1) – ((y – 3) + 3) + ((y – 3) 2 + 6(y – 3) + 9) – ((x – 1) 2 + + 2(x – 1) + 1) ((y – 3) + 3) = = 2 + 3(x – 1) + 3 – (y – 3) – 3 + (y – 3) 2 + 6(y – 3) + 9 – (x – 1) 2 (y – 3) – 3(x – 1) 2 – – 2(x – 1) (y – 3) – 6(x – 1) – (y – 3) – 3 = = 8 – 3(x – 1) + 4(y – 3) – 3(x – 1) 2 + (y – 3) 2 – 2(x – 1)(y – 3) – (x – 1) 2 (y – 3) Die lineare Näherung von f an der Stelle (1, 3) ist dann die lineare Funktion h mit h(x, y) = 8 – 3(x – 1) + 4(y – 3). Es ist f(1,01, 3,02) = 8,049698 und h(1,01, 3,02) = 8,05. Wie im Fall von Polynomfunktionen von R nach R können wir auch bei Polynomfunktionen in zwei Variablen das Berechnen von Funktionswerten in einer kleinen Umgebung einer vorgegebe- nen Stelle auf das Berechnen von Funktionswerten von linearen Funktionen zurückführen. Für jedes Paar von reellen Zahlen (a, b) können wir jede Polynomfunktion f in zwei Variablen durch f(x, y) = f(a, b) + c 1 ·(x – a) + c 2 ·(y – b) + u(x, y)·(x – a) 2 + v(x, y)·(y – b) 2 + + w(x, y)·(x – a)·(y – b) beschreiben, dabei sind c 1 und c 2 reelle Zahlen und u, v, w Polynomfunktionen in zwei Variablen. Für Zahlenpaare, die genügend nahe bei (a, b) liegen, sind die Funktionswerte von f und von der linearen Funktion h mit h(x, y) = f(a, b) + c 1 ·(x – a) + c 2 ·(y – b) „fast“ gleich. Der Graph dieser linearen Funktion ist eine Ebene, daher sieht der Graph von f in einer kleinen Umgebung von (a, b, f(a, b)) „fast“ wie eine Ebene aus. Diese Ebene heißt Tangentialebene des Graphen von f im Punkt (a, b, f(a, b)) oder kürzer Tangentialebene von f an der Stelle (a, b) . Tangential- ebene Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv