Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

246 Funktionen in zwei Variablen Reliefkarte Wanderkarte 940 Beschreibe den Graphen und die Niveaumengen zu den Niveaus ‒ 2, ‒1, 0, 1, 2 der linearen Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = ‒ 3x + 4y. Der Graph von f ist {(x, y, ‒ 3x + 4y) ‡ x, y * R } = {x·(1, 0, ‒ 3) + y·(0, 1, 4) ‡ x, y * R }, also die Ebene in R 3 durch die Punkte (0, 0, 0), (1, 0, ‒ 3) und (0, 1, 4). Die Niveaumenge von f zum Niveau c ist die Menge {(x, y) ‡ x, y * R , ‒ 3x + 4y = c}. Diese Menge ist die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Gerade in R 2 . Für alle c ist diese Gerade zur Geraden durch (4, 3) und (0, 0) parallel. Es ist {(x, y) ‡ x, y * R , ‒ 3x + 4y = c} = { 2 0, c _ 4 3 + t(4, 3) ‡ t * R } , für c = ‒ 2, ‒1, 0, 1, 2 erhalten wir die zueinander parallelen Geraden in der Abbildung. 941 Beschreibe die folgende Situation durch eine Funktion in zwei Variablen. Gib dazu den Definitionsbereich und die Zuordnungsvorschrift an. a. Jedem Punkt auf der Oberfläche eines Sees wird die Tiefe des Sees an dieser Stelle zugeordnet. b. Eine Herdplatte wird erhitzt und an jeder Stelle die Temperatur gemessen. c. Die kinetische Energie einer kleinen Kugel mit Masse m und Geschwindigkeit v ist m· v 2 _ 2 . d. Die Spannung ist gleich dem Produkt der Stromstärke und des Widerstandes. e. In der Ebene wird ein Koordinatensystem gewählt. Von jedem Punkt (a, b) kann der Abstand zu (0, 0) berechnet werden. f. Von jedem Zahlenpaar wird das Dreifache des Quadrates der ersten Komponente berechnet. 942 Beschreibe den Graphen von f und gib die Niveaumengen zu den Niveaus ‒1, 0 und 1 an. a. f(x, y) = x + 3y b. f(x, y) = 2y c. f(x, y) = 1 _ x + y d. f(x, y) = x + y 2 943 Zeige, dass es sich bei der Funktion f um eine Polynomfunktion handelt, indem du f als Linear- kombination von Potenzfunktionen anschreibst. a. f(x, y) = (2x + y)(2x – y) c. f(x, y) = (2x + 3y) 2 + (2x – 3y) 2 b. f(x, y) = 2 x + 1 _ 2 y 3 3 d. f(x, y) = 2(x – 3) 2 – (y + 1)((x – 3) + (y + 1) 2 ) 944 Berechne Zahlen a, b und c so, dass die lineare Funktion f mit f(x, y) = ax + by + c an den Stellen (1, 1), (2, 3) und (1, 0) die Funktionswerte r, s und t annimmt. Sind die Zahlen a,b und c eindeutig bestimmt? a. r = 0; s = 1; t = 2 b. r = 1; s = 0; t = ‒1 c. r = 0; s = 0; t = 0 d. r = 0; s = 0; t = 1 800 850 800 750 700 650 650 700 750 800 850 750 S G G S Niveaumengen beschreiben A ggb 4vq8gx x y 0 -1 1 1 - 1 c = 2 c = 1 c = 0 c = -1 c = - 2 A A B, D B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv