Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

245 6.1 Grundbegriffe Graph von f mit f(x, y) = x 2 – y 2 Graph von f mit f(x, y) = 2x – y + 1 Graphen von Funktionen von R nach R konnten wir als Lösungsmenge einer Gleichung mit zwei Unbekannten auffassen. Zum Beispiel war der Graph der linearen Funktion f mit f(x) = k·x + d die Lösungsmenge der linearen Gleichung k·x + d = y oder, anders geschrieben, k·x – y = d. Auf ähnliche Weise können wir auch Graphen von Funktionen von R 2 nach R als Lösungsmenge einer Gleichung auffassen, aber nun mit drei Unbekannten. Wegen {(x, y, f(x, y)) ‡ x, y * R } = {(x, y, z) ‡ x, y * R , z = f(x, y)} ist der Graph der Funktion f: R 2 ¥ R die Lösungsmenge der Gleichung z = f(x, y), also der Aufgabe „Finde alle Zahlentripel (x, y, z) mit z = f(x, y)“. Diese Gleichung nennen wir die Gleichung des Graphen der Funktion f oder kurz die Gleichung der Funktion f. Statt x, y, z können wir wieder beliebige andere Symbole verwenden, zum Bei- spiel x 1 , x 2 , x 3 . Beispiel: Die Gleichung der linearen Funktion f mit f(x, y) = ax + by + c ist die lineare Gleichung z = ax + by + c oder, anders geschrieben, ax + by – z = ‒ c. Achtung Es gibt viele Gleichungen, deren Lösungsmenge nicht der Graph einer Funktion sein kann. Zum Beispiel hat die Gleichung x 2 + y 2 + z 2 = 1, also die Aufgabe „Beschreibe die Menge alle Tripel (x, y, z) mit x 2 + y 2 + z 2 = 1“, als Lösungsmenge die Oberfläche der Ein- heitskugel (das ist die Menge aller Tripel, deren Abstand von (0, 0, 0) gleich 1 ist). Diese kann nicht Graph einer Funktion von R 2 nach R sein. Mit jeder Funktion f: R 2 ¥ R sind viele Gleichungen mit zwei Unbekannten verbunden: Für jede reelle Zahl c ist die Aufgabe „Finde alle Zahlenpaare (x, y) mit f(x, y) = c“ eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Ihre Lösungsmenge heißt Niveaumenge von f zum Niveau c. Anstatt durch ihren Graphen (in R 3 ) kann man die Funktion auch durch einige ihrer Niveaumengen (in R 2 ) veran- schaulichen. Wenn wir nach Wahl von Koordinaten einen Teil der Erdoberfläche als Teilmenge M von R 2 auf- fassen, dann ist die Funktion, die jedem Punkt dieses Gebietes die Seehöhe in Meter zuordnet, eine Funktion h: M ¥ R . Auf einer Reliefkarte stellt man die Höhenfunktion h räumlich durch ihren Graphen dar. Auf einer Wanderkarte stellt man dieselbe Funktion durch die Niveaumengen zu den Niveaus 650, 700, 750, … dar. Auf Wanderkarten heißen diese Niveaumengen Höhenlinien . Auf einer Höhenlinie liegen alle Orte mit gleicher Seehöhe. Gleichung einer Funktion z y x (1 1 0 1 0) (0 1 1 1 0) (0 1 0 1 1) Niveaumenge Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv