Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

244 6.1 Grundbegriffe Ich lerne Funktionen in zwei Variablen kennen und sie zu veranschaulichen. Reellwertige Funktionen, deren Definitionsbereich eine Teilmenge von R 2 ist, treten häufig auf.  Die Multiplikation von reellen Zahlen ordnet jedem Zahlenpaar (a, b) die Zahl a·b zu. Wir können sie daher als Funktion von R 2 nach R betrachten: Mult: R 2 ¥ R mit Mult(a, b) = a·b.  Ein Obstbauer bietet Äpfel und Birnen an, 1 kg Äpfel um 2€ und 1 kg Birnen um 3€. Wenn es keinen Rabatt und keine Sonderaktion gibt, kosten a kg Äpfel und bkg Birnen insgesamt 2a + 3b Euro. Der Preis für einen Einkauf bei diesem Obstbauern wird durch die Funktion p: ( R + ) 2 ¥ R mit p(a, b) = 2a + 3b beschrieben.  Sind zwei Widerstände mit R 1 und R 2 Ohm parallel geschaltet, dann ist der Gesamtwider- stand R 1 R 2 _ R 1 + R 2 Ohm. Dieser Zusammenhang wird durch die Funktion w: ( R + ) 2 ¥ R mit w(R 1 , R 2 ) = R 1 R 2 _ R 1 + R 2 beschrieben. Eine Funktion von einer Teilmenge von R 2 nach R heißt reellwertige Funktion in zwei Variablen . Wir erinnern uns: Wir haben Rechenoperationen für reellwertige Funktionen mit demselben Definitionsbereich betrachtet. Wir können solche Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizie- ren und mit Zahlen multiplizieren. Durch Funktionen, die keine Nullstellen haben, können wir auch dividieren. Es gelten dabei im Wesentlichen dieselben Rechenregeln wie für ganze Zahlen. Nur beim Kürzen muss man aufpassen: Aus f·g = f·h folgt im Allgemeinen nicht, dass g = h ist. Für je zwei reelle Zahlen k und d haben wir die Funktion f mit f(x) = k·x + d von R nach R erhal- ten. Solche Funktionen haben wir lineare Funktionen genannt. Wir erweitern diesen Begriff nun auf Funktionen von R 2 nach R : Zu je drei reellen Zahlen a, b, c erhalten wir die Funktion f: R 2 ¥ R mit f(x, y) = ax + by + c. Eine solche Funktion nennen wir eine lineare Funktion in zwei Variablen . Zu je zwei natürlichen Zahlen m und n erhalten wir die Funktion g: R 2 ¥ R mit g(x, y) = x m y n . Wir nennen sie Potenzfunktion in zwei Variablen mit Exponenten m und n. Summen von Vielfachen von Potenzfunktionen, wie zum Beispiel die Funktion h: R 2 ¥R mit h(x, y) = 2 + 3x ‒ y + 4y 2 + 3x 3 y 2 , nennen wir Polynomfunktionen (oder einfach Polynome ) in zwei Variablen . Der Graph einer Funktion f in zwei Variablen ist eine Teilmenge von R 3 , und zwar {(x, y, f(x, y)) ‡ x, y * R }. Der Graph der linearen Funktion f mit f(x, y) = ax + by + c ist {(x, y, ax + by + c) ‡ x, y * R } = {(0, 0, c) + x·(1, 0, a) + y·(0, 1, b) ‡ x, y * R }, also die Ebene in R 3 durch den Punkt (0, 0, c), die zur Ebene {x·(1, 0, a) + y·(0, 1, b) ‡ a, b * R } (durch den Ursprung) parallel ist. reellwertige Funktion in zwei Variablen lineare Funktion in zwei Variablen Potenzfunktion in zwei Variablen Polynom- funktionen in zwei Variablen Graph einer Funktion in zwei Variablen Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv