Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

242 Zusammenfassung: Funktionenreihen Zusammenfassende Aufgaben 929 Zeige, dass die Reihe k ; i = 0 k 3 _ i! l konvergent ist. 930 Bestimme das 3. Taylorpolynom der Funktion f mit f(x) = sin(2x) in 0. 931 Finde die Taylorreihe der Funktion f: R ¥ R mit f(x) = cos(x) in 0. 932 Berechne näherungsweise das Integral : 0 1 ln(1 + x) __ x dx, indem du den Integranden durch ein Taylor- polynom annäherst. 933 Überprüfe durch Nachrechnen, dass die Taylorreihe der Funktion f mit f(x) = ln (1 + x) um 0 gleich k ; n = 1 k ( – 1) n _ n + 1 x n l ist. Bestimme auch den Konvergenzradius. 934 Ermittle eine geeignete Beschreibung der periodischen Funktion mit Periodenlänge 4 mit dem dargestellten Graphen und gib ihr Fourierpolynom der Ordnung 4 an. 935 a. Finde das 3. Taylorpolynom der Funktion f mit f(x) = ln(x + 1) in 2. b. Berechne dann für 2,5 und 3 jeweils näherungs- weise den Funktionswert und vergleiche diesen mit dem tatsächlichen Funktionswert. c. Begründe mithilfe der Graphen der Funktion und der Näherung, warum der relative Fehler an der Stelle 3größer als an der Stelle 2,5 ist. 936 Zeige, dass die Reihe k ; i = 0 n 2 3· 2 1 _ 4 3 i + 2· 2 1 _ 2 3 i 3 l konvergent ist und berechne ihren Grenzwert. 937 a. Berechne für die Funktion f mit f(x) = { 0 für ‒ π ª x < 0 x für 0 < x ª π und Periode 2 π das Fourierpolynom der Ordnung 1, 3 und 5. b. Zeichne die Graphen der Funktion und der Fourierpolynome. c. Beurteile, welches der drei Fourierpolynome die Funktion am besten annähert. 938 Gegeben ist die Funktion f: R ¥ R mit f(x) = e x ·sin(x). a. Berechne das 1., 2., 3. und 4. Taylorpolynome von f in 0. b. Stelle die Graphen dieser Taylorpolynome und der Funktion in einem Diagramm dar. c. Beschreibe, wie die Güte der Näherung vom Grad des Taylorpolynoms abhängt. 939 a. Die Fourierreihe der periodischen Funktion f mit f(t) = { sin(t) 0 für sin(t) > 0 für sin(t) ª 0 konvergiert an jeder Stelle t gegen f(t). Nach Aufgabe 905 ist f(t) = 1 _ π + 1 _ 2 sin(t) – 2 _ π · 2 cos(2t) _ 4 – 1 + cos(4t) _ 4 2 – 1 + … + cos(2nt) __ 4n 2 – 1 + … 3 . Zeige damit, dass ; n = 0 • (‒1) n _ 4n 2 – 1 = 1 _ 2 – π _ 4 ist. b. Begründe ohne Verwendung von Aufgabe a. , dass die Reihe k ; n = 0 k (‒1) n _ 4n 2 – 1 l konvergent ist. B, D B B B B, C A, C x y 0 1 - 2 2 1 -1 B, D B, D B, C B, C D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv