Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

241 Zusammenfassung: Funktionenreihen Wir betrachten eine (n + 2)-mal stetig differenzierbare Funktion f und ein Element a ihres Definitionsbereichs. Die Polynomfunktion p mit p(x) = f(a) + ; i = 1 n 1 _ i! f (i) (a)·(x – a) i = f(a) + f’(a)(x – a) + … + 1 _ n! ·f (n) (a)(x – a) n heißt n-tes Taylorpolynom von f in a. Wir bezeichnen sie mit T n, f, a . Ist f eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a ein Element ihres Definitionsbereichs, dann heißt die Potenzreihe mit Koeffizienten f(a), f’(a), 1 _ 2 f’’(a), … , 1 _ i !f (i) (a), … und Entwicklungspunkt a die Taylorreihe T f, a von f in a. Die Taylorreihe T f, a (x) an der Stelle x ist also die Folge k T n, f, a (x) l der Funktionswerte an der Stelle x der n-ten Taylorpolynome von f in a. Wenn diese Folge konver- giert, ist ihr Grenzwert ; i = 0 • 1 _ i! f (i) (a) (x – a) i . Eine Funktion g: R ¥ R heißt trigonometrisches Polynom der Ordnung n mit Periode T , wenn es reelle Zahlen a 0 , a 1 , …, a n und b 1 , …, b n gibt, sodass für alle Zahlen x gilt: g(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 . Jedes trigonometrische Polynom ist eine periodische Funktion. Ist f eine periodische Funktion mit Periodenlänge T, a 0 = 2 _ T : 0 T g(x) dx und für k > 0 a k = 2 _ T : 0 T g(x)cos 2 k 2 π _ T x 3 dx und b k = 2 _ T : 0 T g(x)sin 2 k 2 π _ T x 3 dx, dann heißt das trigonometrische Polynom f n mit f n (x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 das Fourierpolynom der Ordnung n von f . Die Zahlen a k und b k heißen k-te Fourierkoeffizienten von f. Konvergiert für eine reelle Zahl x die Folge k f 0 (x), f 1 (x), …, f n (x), … l gegen f(x), dann sagen wir, dass wir die Funktion f an der Stelle x in ihre Fourierreihe entwickeln können und schreiben f(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 • 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 . Wir betrachten eine Funktion f: R ¥ R , für die für alle Zahlen ω die uneigentlichen Integrale : ‒ • • f(t)cos( ω t) dt und : ‒ • • f(t)sin( ω t) dt existieren. Dann nennen wir die komplexwertige Funktion F: R ¥ C , ω ¦ : ‒ • • f(t)cos( ω t) dt – j· : ‒ • • f(t)sin( ω t) dt, die Fourier-Transformierte von f und bezeichnen sie mit F (f). Taylorpolynom Taylorreihe trigonometri- sches Polynom mit Periode T Fourierpolynom Fourierreihe Fourier-Trans- formierte einer Funktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv