Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

240 Zusammenfassung Die Reihe einer Folge k a n l ist die Folge k ; i = 0 k a i l . Wenn die Reihe der Folge k a n l konvergent ist, schreiben wir für den Grenzwert der Reihe statt lim k ¥ • ; i = 0 k a i kurz ; i = 0 • a i . Die Reihe k ; i = 0 n a·q i l der geometrischen Folge k a·q n l heißt geometrische Reihe mit Anfangsglied a und Quotient q. Sie ist genau dann konvergent, wenn |q| < 1 ist. In diesem Fall ist ; i = 0 • a·q i = lim k ¥ • ; i = 0 k a·q i = a _ 1 – q . Summen, Differenzen und Vielfache von konvergenten Reihen sind wieder konvergent und die Grenzwerte der Summe, Differenz und des c-fachen von konvergenten Reihen ist die Summe, Differenz und das c-Fache der Grenzwerte. Konvergiert eine monoton fallende Folge k b n l nicht-negativer Zahlen gegen 0, dann ist die Reihe k ; i = 0 n (‒1) i b i l konvergent. Mit k c n l bezeichnen wir eine Folge nicht-negativer reeller Zahlen, deren Reihe konvergiert. Wenn k a n l eine Folge von reellen Zahlen mit der Eigenschaft „für alle natürlichen Zahlen n ist ‡ a n ‡ ª c n “ ist, dann konvergiert die Reihe von k a n l absolut und ; i = 0 • ‡ a i ‡ ª ; i = 0 • c i . Die Reihe von k c n l heißt dann eine Majorante der Reihe von k a n l . Wenn es für eine Folge k a n l eine Zahl q mit 0 < q < 1 und eine natürliche Zahl m gibt so, dass für alle n º m mit a n ≠ 0 gilt: | a n + 1 _ a n | ª q, dann konvergiert die Reihe k ; i = 0 k a i l absolut. Sind eine Folge von reellen Zahlen k c 0 , c 1 , c 2 , …, c n , … l und reelle Zahlen a und x gegeben, dann nennen wir die Reihe k c 0 + c 1 (x – a) + c 2 (x – a) 2 + … c n (x – a) n l = k ; i = 0 n c i (x – a) i l die Potenzreihe mit Koeffizienten c 0 , c 1 , c 2 , … c n , … und Entwicklungspunkt a an der Stelle x. Sie konvergiert entweder  nur an der Stelle a oder  auf ganz R oder  es gibt eine Zahl r so, dass sie für alle x mit ‡ x – a ‡ < r absolut konvergent und für alle x mit ‡ x – a ‡ > r divergent ist. Wir nennen diese Zahl r den Konvergenzradius der Potenzreihe . Wenn die Folge k | c n _ c n + 1 | l konvergent ist, dann ist r = lim n ¥ • 2 | c n _ c n + 1 | 3 . Wenn die Folge k | c n + 1 _ c n | l gegen 0 konvergiert, dann konvergiert die Potenzreihe auf ganz R . Man sagt dann, der Konvergenzradius ist • („unendlich“). Wenn die Reihe nur an der Stelle a konvergiert, sagt man, dass der Konvergenzradius 0 ist. Reihe einer Folge geometrische Reihe Rechnen mit Reihen Leibniz- Kriterium Majoranten- kriterium Quotienten- kriterium Potenzreihe Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv