Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

239 5.4 Fourier-Transformation 921 Berechne für reelle Zahlen A und T die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { A für ‒T ª t ª T 0 sonst . Bestimme ihre Nullstellen und zeichne ihren Graphen. 922 a. Zeige: Wenn f eine gerade Funktion ist (für alle Zahlen x gilt: f(‒ x) = f(x)), dann ist F (f)( ω ) = 2 : 0 • f(t)cos( ω t) dt. b. Zeige: Wenn f eine ungerade Funktion ist (für alle Zahlen x gilt: f(‒ x) = f(x)), dann ist F (f)( ω ) = ‒ 2j· : 0 • f(t)sin( ω t) dt. 923 Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { 1 – ‡ t ‡ für ‒1 ª t ª 1 0 sonst . Verwende dazu die Aussage in Aufgabe 922 über die Fourier-Transformierte von geraden Funktionen. Zeichne den Graphen von F (f). 924 Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { ‒1 für ‒1 ª t ª 0 1 für 0 ª t ª 1 0 sonst . Verwende dazu die Aussage in Aufgabe 922 über die Fourier-Transformierte von ungeraden Funktionen. Zeichne den Graphen von j· F (f). 925 Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { e ‒t 0 für t > 0 für t ª 0 . 926 a. Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = e ‒|t| . Verwende dazu, dass f eine gerade Funktion ist. b. Zeichne mit einem CAS die Graphen von f und von F (f). c. Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion g mit g(t) = e ‒3|t| . Verwende dazu, dass f eine gerade Funktion ist. d. Zeichne mit einem CAS die Graphen von g und von F (g). Vergleiche sie mit den Graphen von f und F (f). 927 Begründe: a. Wenn die Fourier-Transformierten von zwei Funktionen f und g existieren, dann existiert auch die Fourier-Transformierte ihrer Summe f + g und F (f + g) = F (f) + F (g). b. Wenn die Fourier-Transformierte einer Funktion f existiert, dann existiert auch die Fourier- Transformierte aller Vielfachen c·f von f und F (c·f) = c· F (f). Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne die Fourier-Transformation von reellwertigen Funktionen und kann sie in einigen einfachen Fällen berechnen. 928 Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { 1 für ‒ 2 ª t ª 1 oder 1 ª t ª 2 0 sonst . Begründe, warum die Funktionswerte der Fourier-Transformierten von f alle reell sein müssen. Zeichne ihren Graphen. B D B A, B B B, C D B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv