Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

238 5.4 Fourier-Transformation Ich lerne die Fourier-Transformation von reellwertigen Funktionen kennen und sie in einigen einfachen Fällen zu berechnen. In Kapitel 4haben wir die Laplace-Transformation kennengelernt, diese hat gewissen auf R + definierten reellwertigen Funktionen eine andere, mithilfe eines uneigentlichen Integrals definierte reellwertige Funktion zugeordnet. In diesem Abschnitt lernen wir noch eine andere „Integraltransformation“ – die Fourier-Transformation – kennen, diese ordnet gewissen auf ganz R definierten reellwertigen Funktionen gewisse komplexwertige Funktionen zu. Wir betrachten eine Funktion f: R ¥ R , für die für alle Zahlen ω die uneigentlichen Integrale : ‒ • • f(t)cos( ω t) dt und : ‒ • • f(t)sin( ω t) dt existieren. Dann nennen wir die komplexwertige Funktion F: R ¥ C , ω ¥ : ‒ • • f(t)cos( ω t) dt – j· : ‒ • • f(t)sin( ω t) dt, die Fourier-Transformierte von f und bezeichnen sie mit F(f). Schreibt man e ‒ j ω t für cos( ω t) – j·sin( ω t), dann ist F( ω ) = : ‒ • • f(t)e ‒ j ω t dt. Den Übergang von f zu F = F (f) nennen wir die Fourier-Transformation von f. 919 Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { 1 für ‒ 1 _ 2 ª t ª 1 _ 2 0 sonst. Bestimme ihre Nullstellen und zeichne ihren Graphen. Falls ω ≠ 0 ist, ist F (f)( ω ) = : ‒ 1 _ 2 1 _ 2 cos( ω t) dt – j· : ‒ 1 _ 2 1 _ 2 sin( ω t) dt = 1 _ ω ·sin( ω t) 1 ‒ 1 _ 2 1 _ 2 – 0 = 2 _ ω ·sin 2 ω _ 2 3 . Falls ω = 0 ist, ist F (f)(0) = : ‒ • • f(t) dt = : ‒ 1 _ 2 1 _ 2 1 dt = 1. Die Menge der Nullstellen von F(f) ist die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von 2 π . 920 Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { 3 für ‒1 ª t ª 1 0 sonst . Bestimme ihre Nullstellen und zeichne ihren Graphen. Fourier-Trans- formierte einer Funktion B die Fourier- Transformierte einer Funktion berechnen t f(t) 0 -1 - 0,5 0,5 1 0,5 1 0 ċ F( ċ ) 2 Ă 4 Ă 6 Ă - 2 Ă - 4 Ă - 6 Ă 0,5 - 0,5 1 B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv