Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

237 5.3 Fourierreihen 914 Finde für den Graphen eine geeignete Beschreibung der entsprechenden periodischen Funktion, gib die Periodenlänge an und berechne anschließend deren Fourierpolynom der Ordnung 3. a. b. c. 915 Ermittle eine geeignete Beschreibung der periodischen Funktionen mit dem dargestellten Graphen und gib ihr Fourierpolynom der Ordnung 4 an. a. b. c. 916 Die 2 π -periodische Funktion f mit f(x) = x für ‒ π ª x < π heißt „Sägezahnfunktion“. a. Zeichne den Graphen dieser Funktion über dem Intervall [‒ 5 π ; 5 π ]. Erkläre den Namen dieser Funktion. b. Berechne die Fourierkoeffizienten von f. c. Die Funktion f kann an jeder Stelle x im Intervall (‒ π ; π ) in ihre Fourierreihe entwickelt werden. Verwende die Fourierreihe an der Stelle π _ 2 , um zu zeigen, dass ; n = 0 • 2(‒1) n _ 2n + 1 = π _ 2 = f 2 π _ 2 3 ist. d. Zeige, dass die Fourierreihe von f auch an der Stelle ‒ π konvergiert, aber nicht gegen f(‒ π ) = ‒ π , sondern gegen 0. 917 a. Berechne für die Funktion f mit f(x) = { x ‒ x + 4 für ‒ 2 ª x ª 2 für 2 < x ª 6 die Fourierpolynome mit Periode 8 der Ordnung 1, 3 und 5. b. Zeichne die Graphen der Funktion und der drei berechneten Fourierpolynome. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne trigonometrische Polynome und kann geeignete periodische Funktionen durch sie annähern. 918 a. Berechne für die periodische Funktion f mit f(x) = { ‒ x – 2 x – 2 für ‒ 4 ª x < 0 für 0 ª x < 4 und mit Periode 8 das Fourierpolynom der Ordnung 3. b. Zeichne die Graphen der Funktion und des berechneten Fourierpolynoms in ein Diagramm. A, B x y 0 -1 1 1 x y 0 -1 1 1 x y 0 -1 1 A, C x y 0 -1 1 x y 0 - 2 2 x y 0 - 4 4 B, C, D A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv