Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

236 Funktionenreihen b. Der Graph des Fourierpolynoms f 2 mit f 2 (x) = 1 _ π + 1 _ 2 sin(x) – 2 _ 3 π ·cos(2x) ist grün gezeichnet. 906 a. Berechne für die 2 π -periodische Funktion f mit f(x) = { 0 für ‒ π ª x ª 0 1 für 0 < x ª π die Fourierpolynome der Ordnung 1, 3 und 5. b. Zeichne die Graphen der Funktion und der in Aufgabe a. berechneten Fourierpolynome. c. Beurteile, welches der drei Fourierpolynome die Funktion am besten annähert. 907 Berechne mithilfe eines geeigneten CAS für die Funktion aus Aufgabe 906 das n-te Fourier- polynom, wobei n mithilfe eines Schiebereglers frei wählbar ist. Stelle den Graphen dieses Fourierpolynoms dar und erstelle eine Animation, die zeigt, wie sich dieser Graph ändert, wenn n die natürlichen Zahlen von 0 bis 20 durchläuft. 908 a. Berechne für die Funktion f mit f(x) = { x ‒ x + 4 für ‒ 2 ª x ª 2 für 2 < x ª 6 die Fourierpolynome mit Periode 8 der Ordnung 1, 3 und 5. b. Zeichne die Graphen der Funktion und der drei berechneten Fourierpolynome. 909 Berechne mithilfe eines geeigneten CAS für die Funktion aus Aufgabe 908 das n-te Fourier- polynom, wobei n mithilfe eines Schiebereglers frei wählbar ist. Stelle den Graphen dieses Fourierpolynoms dar und erstelle eine Animation, die zeigt, wie sich dieser Graph ändert, wenn n die natürlichen Zahlen von 0 bis 20 durchläuft. 910 a. Ermittle für die periodische Funktion f mit f(x) = x für – π ª x ª π und mit Periode 2 π das Fourierpolynom der Ordnung 3. b. Zeichne die Graphen der Funktion und des Fourierpolynoms. 911 Verbessere die Approximation der Funktion aus Aufgabe 910, indem du die Ordnung der Fourierpolynome erhöhst. Experimentiere mit der Ordnung und urteile, ab welcher Ordnung die Approximation akzeptabel ist. 912 Finde für die periodische Funktion f mit f(x) = { cos(x) für ‒ π _ 2 ª x ª 0 ‒ 2 _ π x + 1 für 0 < x ª π _ 2 und mit Periode π das Fourierpolynom der Ordnung 2 und zeichne den Graphen der Funktion und des Fourierpolynoms. 913 Zeichne mithilfe eines geeigneten CAS den Graphen der periodischen Funktion f mit f(x) = { 0 für ‒ π ª x < ‒ π _ 2 sin(x) für ‒ π _ 2 ª x ª π _ 2 0 für π _ 2 < x ª π und Periode 2 π . Bestimme ihr Fourierpolynom der Ordnung 10. Stelle den Graphen des Fourier- polynoms im gleichen Diagramm dar. x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă 0,5 1 B, C B B B B, C B, D A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv