Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

235 5.3 Fourierreihen Fourierreihen Im Abschnitt 5.2 haben wir versucht, beliebig oft differenzierbaren Funktionen durch ihre Taylor- polynome anzunähern. Polynomfunktionen haben viele gute Eigenschaften, aber sie sind nicht periodisch. Zur Näherung von periodischen Funktionen sind daher trigonometrische Polynome besser geeignet. Die Fourierkoeffizienten eines trigonometrischen Polynoms g sind a k = 2 _ T · : 0 T g(x)cos 2 k 2 π _ T x 3 dx und b k = 2 _ T · : 0 T g(x)sin 2 k 2 π _ T x 3 dx. Es liegt daher nahe, diese Zahlen für beliebige periodische Funktionen f analog zu definieren. Die Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion f: R ¥ R mit Periode T sind die Zahlen a 0 = 2 _ T : 0 T f(x) dx und für k > 0 a k = 2 _ T : 0 T f(x)cos 2 k 2 π _ T x 3 dx und b k = 2 _ T : 0 T f(x)sin 2 k 2 π _ T x 3 dx. Das trigonometrische Polynom f n mit f n (x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 nennen wir das Fourierpolynom der Ordnung n von f . Konvergiert für eine reelle Zahl x die Folge k f 0 (x), f 1 (x), …, f n (x), … l gegen f(x), dann sagen wir, dass wir die Funktion f an der Stelle x in ihre Fourierreihe entwickeln können und schreiben f(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 • 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 . Achtung Im Allgemeinen konvergiert k f 0 (x), f 1 (x), …, f n (x), … l nicht für jede Zahl x gegen f(x)! Es gilt aber: Falls f stetig und im Intervall [0; T] mit Ausnahme von höchstens endlich vielen Stellen 2-mal differenzierbar ist, dann konvergiert die Fourierreihe von f an jeder Stelle x gegen f(x). 905 Die periodische Funktion f ist durch f(x) = { 0 sin(x) für sin(x) < 0 sonst definiert. Sie ist stetig mit Periode 2 π und an allen Stellen im Intervall [0; 2 π ] mit Ausnah- me von 0, π und 2 π beliebig oft differenzier- bar. Daher können wir f an jeder Stelle in eine Fourierreihe entwickeln. a. Berechne die Fourierkoeffizienten von f. b. Zeichne mit einem CAS den Graphen des Fourierpolynoms der Ordnung 2 von f. a. Wir berechnen die Fourierkoeffizienten (mit partieller Integration oder mit einem CAS): Für k ≠ 1 ist a k = 1 _ π · : 0 2 π f(x)cos(kx) dx = 1 _ π · : 0 π sin(x)cos(kx) dx = 1 _ π · 1 + (‒1) k __ 1 – k 2 und a 1 = 0. Für k ≠ 1 ist b k = 1 _ π · : 0 2 π f(x)sin(kx) dx = 1 _ π · : 0 π sin(x)sin(kx) dx = 0 und b 1 = 1 _ 2 . Fourier- koeffizienten Fourierpolynom Fourierreihe B x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă 0,5 1 eine Funktion in ihre Fourierreihe entwickeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv