Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

234 Funktionenreihen Amplituden-Phasen-Form Wenn wir die reinen Töne eines Klanges bestimmen möchten, stellen wir ein trigonometrisches Polynom besser als Summe von allgemeinen Sinusfunktionen dar. Wenn g mit g(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 , ein trigonometrisches Polynom mit Periode T ist, dann suchen wir Zahlen A 0 , …, A n und α 1 , …, α n so, dass g(x) = A 0 + ; k = 1 n A k sin 2 k 2 π _ T x + α k 3 ist. Diese Darstellung von g heißt Amplituden-Phasen-Form . Aus dem Summensatz für die Sinusfunktion folgt sin 2 k 2 π _ T x + α k 3 = cos( α k )sin 2 k 2 π _ T x 3 + sin( α k )cos 2 k 2 π _ T x 3 . Daher ist A k sin 2 k 2 π _ T x + α k 3 = A k cos( α k )sin 2 k 2 π _ T x 3 + A k sin( α k )cos 2 k 2 π _ T x 3 . Mit a k = A k sin( α k ) und b k = A k cos( α k ) erhalten wir A k 2 = A k 2 (sin( α k ) 2 + cos( α k ) 2 ) = (A k sin( α k )) 2 + (A k cos( α k )) 2 = a k 2 + b k 2 und 0 ª α k < 2 π ist der eindeutig bestimmte Winkel mit cos( α k ) = a k _ A k und sin( α k ) = b k _ A k . Wir fassen zusammen: Ein trigonometrisches Polynom g mit g(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 kann auch in der Amplituden-Phasen-Form mit g(x) = A 0 + ; k = 1 n A k sin 2 k 2 π _ T x + α k 3 geschrieben werden. Dabei ist A 0 = a 0 _ 2 und für k > 0: A k = 9 _____ a k 2 + b k 2 , sowie 0 ª α k < 2 π die eindeutig bestimmte Zahl mit sin( α k ) = a k _ A k und cos( α k ) = b k _ A k . 902 Berechne die Amplituden-Phasen-Form des trigonometrischen Polynoms g mit g(x) = 1 + 3·sin(x) + 4·cos(x) + 6·cos(7x). Es ist A 0 = 1 und A 1 = 9 _____ a 1 2 + b 1 2 = 9 ____ 3 2 + 4 2 = 5, sowie sin( α 1 ) = a 1 _ A 1 = 4 _ 5 und cos( α 1 ) = b 1 _ A 1 = 3 _ 5 . Daher ist α 1 = 0,9273. Wegen cos(7x) = sin 2 7x + π _ 2 3 ist g(x) = 1 + 5·sin(x + 0,9273) + 6·sin 2 7x + π _ 2 3 . 903 Berechne die Amplituden-Phasen-Form des gegebenen trigonometrischen Polynoms g. a. g(x) = 1 + 2cos(x) + 3sin(x) + cos(2x) b. g(x) = 1 + 3cos(x) – cos(2x) c. g(x) = sin(x) + 2sin(3x) + cos(3x) 904 Berechne die Amplituden-Phasen-Form des gegebenen trigonometrischen Polynoms g. Berechne die kleinste positive Zahl T so, dass g T-periodisch ist. a. g(x) = sin( π x) + sin(3 π x) – 2cos(3 π x) b. g(x) = 1 _ 2 + 2cos(2 π x) + 2sin(2 π x) + 3cos(4 π x) – 4sin(4 π x) Amplituden- Phasen-Form eines trigono- metrischen Polynoms B die Amplituden- Phasen-Form eines trigo- nometrischen Polynoms berechnen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv