Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

233 5.3 Fourierreihen und für k > 0 a k = 1 _ π · : 0 2 π r(x)cos(kx) dx = 1 _ π : 0 π cos(kx) dx – 1 _ π : π 2 π cos(kx) dx = 0 – 0 = 0 b k = 1 _ π · : 0 2 π r(x)sin(kx) dx = 1 _ π : 0 π sin(kx) dx – 1 _ π : π 2 π sin(kx) dx = 2 _ π : 0 π sin(kx) dx = = { 4 _ k π , wenn k ungerade ist 0 , wenn k gerade ist Für alle reellen Zahlen x ist daher g(x) ≈ 4 _ π · ; k = 0 n sin((2k + 1)x) __ 2k + 1 = 4 _ π · 2 sin(x) + sin(3x) _ 3 + sin(5x) _ 5 + sin(7x) _ 7 + … + sin((2n + 1)x) __ 2n + 1 3 . Der Grundton wird durch die Sinusfunktion beschrieben, die Frequenzen der Obertöne sind das 3-, 5-, …, (2n + 1)-Fache der Grund- frequenz. Für n = 8 erhalten wir mit einem CAS ziemlich genau den gegebenen Graphen von g. 898 Eine Funktion g ist gerade, wenn für alle reelle Zahlen x gilt: g(x) = g(‒ x). a. Zeige, dass das trigonometrische Polynom g mit g(x) = 1 + cos(x) + 2cos(2x) – cos(3x) eine gerade Funktion ist. Zeichne mit einem CAS den Graph dieser Funktion. b. Zeige: Das trigonometrische Polynom g mit g(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n a k cos(kx) ist eine gerade Funktion. c. Zeige: Wenn ein trigonometrisches Polynom g eine gerade Funktion ist, dann ist für alle positiven ganzen Zahlen k der Fourierkoeffizient b k = 1 _ π · : 0 2 π g(x)sin(kx) dx = 0. 899 Eine Funktion g ist ungerade, wenn für alle reellen Zahlen x gilt: g(x) = ‒g(‒ x). a. Zeige, dass das trigonometrische Polynom g mit g(x) = sin(x) – sin(2x) + sin(3x) eine ungerade Funktion ist. Zeichne mit einem CAS den Graph dieser Funktion. b. Zeige, dass das trigonometrische Polynom g mit g(x) = b + ; k = 1 n b k sin(kx) eine ungerade Funktion ist. c. Zeige: Wenn ein trigonometrisches Polynom g eine ungerade Funktion ist, dann ist für alle natürlichen Zahlen k der Fourierkoeffizient a k = 1 _ π · : 0 2 π g(x)cos(kx) dx = 0. 900 Der Graph einer Funktion, die einen Klang mit Schwingungsdauer 2 π Millisekunden beschreibt, kann durch den Graph der Funktion h mit h(x) = { 0 1 für für x * [0 + 2k π ; π + 2k π ) mit k * Z x * [ π + 2k π ; 2 π + 2k π ) mit k * Z gut angenähert werden. Berechne ein trigonometrisches Polynom, das näherungsweise diesen Graphen hat. 901 Der Graph einer Funktion, die einen Klang mit Schwingungsdauer 2 π Millisekunden beschreibt, kann durch den Graph der Funktion f mit f(x) = { 0 für x * 4 ‒ π _ 2 + 2k π ; π _ 2 + 2k π 3 mit k * Z 1 für x * 4 ‒ π + 2k π ; ‒ π _ 2 + 2k π 3 ± 4 π _ 2 + 2k π ; π + 2k π 3 mit k * Z gut angenähert werden. Berechne ein trigonometrisches Polynom, das näherungsweise diesen Graphen hat. x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă -1 1 D D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv