Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

232 Funktionenreihen Wegen A k ·sin 2 k 2 π _ T x + α k 3 = A k 2 sin 2 k 2 π _ T x 3 cos( α k ) + cos 2 k 2 π _ T x 3 sin( α k ) 3 = = (A k cos( α k ))sin 2 k 2 π _ T x 3 + (A k sin( α k ))cos 2 k 2 π _ T x 3 und weil A k und α k aus A k cos( α k ) und A k sin( α k ) berechenbar sind, können wir diese Aufgabe auch so formulieren: Gesucht sind Zahlen a 0 , a 1 , …, a n und b 1 , …, b n so, dass für alle reellen Zahlen x g(x) = a 0 _ 2 + a 1 cos 2 2 π _ T x 3 + b 1 sin 2 2 π _ T x 3 + a 2 cos 2 2 2 π _ T x 3 + b 2 sin 2 2 2 π _ T x 3 + … + + a n cos 2 n 2 π _ T x 3 + b n sin 2 n 2 π _ T x 3 = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 ist. Wir werden später sehen, dass es nützlich ist, den ersten Summanden mit a 0 _ 2 festzulegen, wir hätten aber ebenso stattdessen a 0 schreiben können. Eine Funktion g: R ¥ R heißt trigonometrisches Polynom der Ordnung n mit Periode T , wenn es reelle Zahlen a 0 , a 1 , …, a n und b 1 , …, b n gibt, sodass für alle Zahlen x gilt: g(x) = a 0 _ 2 + ; k = 1 n 2 a k cos 2 k 2 π _ T x 3 + b k sin 2 k 2 π _ T x 3 3 . Jedes trigonometrische Polynom ist eine periodische Funktion. Die Zahlen a k und b k heißen k-te Fourierkoeffizienten von g. Man berechnet leicht a 0 = 2 _ T : 0 T g(x) dx, also ist a 0 _ 2 der Mittelwert von g. Mit partieller Integration erhält man für k > 0: a k = 2 _ T : 0 T g(x)cos 2 k 2 π _ T x 3 dx und b k = 2 _ T : 0 T g(x)sin 2 k 2 π _ T x 3 dx Beispiel: Das trigonometrische Polynom g mit g(x) = 1 _ 2 + 2cos(x) + 3sin(x) – sin(2x) – cos(3x) hat Ordnung 3 und Periode 2 π , sein Graph sieht so aus: 897 Der Graph einer Funktion g, die einen Klang mit Schwingungsdauer 2 π Millisekunden beschreibt, wurde aufgezeichnet. Berechne ein trigonometrisches Polynom mit Periode 2 π , das näherungsweise diesen Graph hat. Lies daraus den Grundton und einige Obertöne des Klanges ab. Wir berechnen die Koeffizienten dieses trigonometrischen Polynoms, indem wir seinen Graphen durch den der einfachen „Rechtecksfunktion“ r mit r(x) = { 1 ‒1 für für x * [0 + 2k π ; π + 2k π ) mit k * Z x * [ π + 2k π ; 2 π + 2k π ) mit k * Z annähern. Die ersten Fourierkoeffizienten von g sind dann näherungsweise a 0 = 1 _ π · : 0 2 π r(x) dx = 1 _ π : 0 π dx – 1 _ π : π 2 π dx = 1 – 1 = 0, trigonometri- sches Polynom mit Periode T Fourier- koeffizienten x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă - 2 - 4 2 4 t B, C x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă -1 1 einen Graphen durch ein trigonometri- sches Polynom annähern x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă -1 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv