Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

231 5.3 Fourierreihen Ich lerne trigonometrische Polynome kennen und geeignete periodische Funktionen durch sie anzunähern. Trigonometrische Polynome Mit g bezeichnen wir die Funktion, die jedem Zeitpunkt t den Schalldruck g(t) an unserem Ohr zuordnet. Wir hören genau dann einen (reinen) Ton mit Schwingungsdauer T (bzw. Frequenz 1 _ T ), wenn g eine allgemeine Sinusfunktion mit Kreisfrequenz 2 π _ T , also g(t) = A·sin 2 2 π _ T ·t + α 3 ist. Die Amplitude A legt die Tonstärke und die Kreisfrequenz legt die Tonhöhe fest. Der Ton ist „tief“, wenn die Kreisfrequenz klein und „hoch“, wenn die Kreisfrequenz groß ist. Die Funktion g ist periodisch mit Periode T, das heißt: Für jeden Zeitpunkt t ist g(t) = g(t + T). Hören wir mehrere reine Töne zugleich, dann ist g eine Summe von Sinusfunktionen. Wenn die Quotienten der Kreisfrequenzen dieser Sinusfunktionen rationale Zahlen sind, diese Frequenzen also „zueinander in einem ganzzahligen Verhältnis stehen“, dann hören wir einen „Klang“ (im Sinn der Akustik, in der Musiktheorie wird dieses Wort allgemeiner verwendet). Bei einem Klang ist daher die Schalldruckfunktion g eine Summe von allgemeinen Sinusfunktionen. Der tiefste vorkommende Ton heißt Grundton des Klanges, die anderen Obertöne. Zum Beispiel beschreibt die Funktion g mit g(x) = 3·sin(5x + 1,34) + 5·sin(7x) + 0,9·sin(8x + 2) einen Klang. Die Graphen der drei Summanden sind: Der Graph des Grundtons ist rot gezeichnet. Der Graph der Funktion g sieht so aus: Wie kann man aus diesem Graphen den Grundton und die Obertöne finden (wenn man sie nicht wie in unserem Beispiel vorgegeben hat)? Wir können diese Fragestellung mathematisch so formulieren: Wir kennen eine Funktion g und wissen, dass sie als Summe von allgemeinen Sinusfunktionen geschrieben werden kann, deren Kreisfrequenzen zueinander in einem ganzzahligen Verhältnis stehen. Gesucht sind Zahlen n, A 0 , A 1 , …, A n und α 1 , …, α n so, dass für alle reellen Zahlen x gilt: g(x) = A 0 + A 1 ·sin 2 2 π _ T x + α 1 3 + A 2 ·sin 2 2 2 π _ T x + α 2 3 + … + A n ·sin 2 n 2 π _ T x + α n 3 . x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă - 2 2 4 - 4 f g h x 0 y 1 -1 Ă - Ă 2 Ă - 2 Ă - 4 4 8 - 8 g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv