Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

230 Funktionenreihen 886 Berechne die Taylorreihe der Funktion f mit f(x) = sin(x) _ x in 0. Berechne damit den Grenz- wert lim x ¥ 0 sin(x) _ x . 887 a. Entwickle die Funktion g mit g(x) = ln 2 1 + x _ 1 – x 3 über dem Intervall (‒1; 1) in eine Potenzreihe. Verwende dazu, dass für alle x in (‒1; 1) gilt: ln(1 + x) = ; n = 1 • 2 (‒1) n – 1 _ n 3 x n und ln(1 – x) = ; n = 1 • 2 (‒1) n – 1 _ n 3 (‒ x) n . b. Berechne eine Zahl x im Intervall (‒1; 1) so, dass 1 + x _ 1 – x = 2 ist. Berechne dann mit dem 3. Taylorpolynom von g eine Näherung von ln(2). 888 Berechne näherungsweise das Integral : 0 1 e ‒t 2 dt. Es ist e ‒t 2 = ; n = 0 • 1 _ n! (‒ t 2 ) n ≈ 1 – t 2 + 1 _ 2 t 4 – 1 _ 6 t 6 und : 0 1 e ‒t 2 dt ≈ : 0 1 1 – t 2 + 1 _ 2 t 4 – 1 _ 6 t 6 dt = 0,7429. 889 Berechne näherungsweise das Integral : 0 1 sin(x) _ x dx mithilfe des 5. Taylorpolynoms. 890 Berechne näherungsweise das Integral : 0 0,5 1 _ 9 ___ 1 + x 2 dx mithilfe des 4. Taylorpolynoms. 891 Berechne näherungsweise das Integral : 1 2 sin( 9 _ x) dx mithilfe des 4. Taylorpolynoms. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann mit Taylorpolynomen näherungsweise Funktionswerte von beliebig oft differenzierbaren Funktionen berechnen. 892 a. Finde für die Funktion f: R ¥ R mit f(x) = 9 ___ 1 + x 2 das 4. Taylorpolynom in 0. b. Berechne dann für 0,5 näherungsweise den Funktionswert und schätze den dabei gemachten Fehler mithilfe des Restgliedes ab. 893 Untersuche, für welche Zahlen n die Näherung für den in der Finanzmathematik oft benützen Näherung (1 + i) n ≈ 1 + n·i zulässig ist. Dabei ist i der Zinssatz in % und n die Verzinsungsdauer in Jahren. Argumentiere mithilfe eines Beispiels. Ich kenne Potenzreihen und kann in manchen Fällen ihren Konvergenzradius berechnen. 894 Berechne die Taylorreihe der Cosinusfunktion in 0. 895 Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe p mit p(x) = ; n = 1 • 1 _ n (x – 2) n . Ich kann mithilfe von Taylorpolynomen Integrale näherungsweise berechnen. 896 Berechne mithilfe des 4. Taylorpolynoms näherungsweise das Integral : 0 1 e x 2 dx. B B ggb 9b5g3h näherungsweises Integrieren mithilfe der Entwicklung in eine Potenzreihe B B B B B D B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv