Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

229 5.2 Potenzreihen 881 Berechne die Taylorreihe der rationalen Funktion f mit f(x) = 1 _ x in 1 und die Taylorreihe der rationalen Funktion g mit g(x) = 1 _ 1 – x in 0. Wir berechnen die n-te Ableitung von f an der Stelle 1: f’(x) = ‒ 1 _ x 2 f’(1) = ‒1 f’’(x) = 2 _ x 3 f’’(1) = 2 f (3) (x) = ‒2·3 _ x 4 f (3) (1) = ‒ 2·3 f (4) (x) = 2·3·4 _ x 5 f (4) (1) = 2·3·4 f (n) (x) = (‒1) n (n!) __ x n + 1 f (n) (1) = (‒1) n n! Die Koeffizientenfolge der Taylorreihe der Funktion f in 1 ist daher k 1 _ n! ·(‒1) n (n!) = (‒1) n l . Der Konvergenzradius der Potenzreihe k ; n = 0 k (‒1) n (x – 1) n l ist 1, daher stimmen die Funktion f und die Taylorreihe T f, 1 mit T f, 1 (x) = ; n = 0 • (‒1) n (x – 1) n auf dem Intervall (0; 2) überein. Wir berechnen die n-te Ableitung von g an der Stelle 0: g’(x) = 1 _ (1 – x) 2 g’(0) = = 1 g’’(x) = 2 _ (1 – x) 3 g’(0) = 2 g (3) (x) = 2·3 _ (1 – x) 4 g (3) (0) = 2·3 g (4) (x) = 2·3·4 _ (1 – x) 5 g (3) (0) = 2·3·4 g (n) (x) = n! __ (1 – x) n + 1 g (3) (0) = n! Die Koeffizientenfolge der Taylorreihe der Funktion g in 0 ist daher k 1 _ n! ·(n!) = 1 l . Der Konvergenzradius der Potenzreihe k ; n = 0 k x n l ist 1, daher stimmen die Funktion g und ihre Taylorreihe T g, 0 mit T g, 0 (x) = ; n = 0 • x n auf dem Intervall (‒1, 1) überein. 882 Berechne die Taylorreihe der Sinusfunktion in 0. Wenn wir die Sinusfunktion 0-mal, 1-mal, 2-mal, … an einer Stelle x ableiten, erhalten wir sin(x), cos(x), ‒ sin(x), ‒ cos(x), sin(x), cos(x), ‒ sin(x), …, für x = 0 ist das 0, 1, 0, ‒1, 0, 1, 0, ‒1, … . Also sind die Koeffizienten der Taylorreihe der Sinusfunktion um 0 gleich 0, 1 _ 1! , 0, ‒ 1 _ 3! , 0, 1 _ 5! , 0, ‒ 1 _ 7! , … . Der Konvergenzradius der Taylorreihe ist • , daher gilt für alle reellen Zahlen x: sin(x) = x – 1 _ 3! x 3 + 1 _ 5! x 5 – 1 _ 7! x 7 + … + 1 __ (2n + 1)! x 2n + 1 + … = ; n = 0 • (‒1) n __ (2n + 1)! x 2n + 1 . 883 Berechne die ersten 8 Summanden der Taylorreihe in 0 der Tangensfunktion. 884 Zeige durch Nachrechnen, dass die Taylorreihe in 1 der Logarithmusfunktion zur Basis e gleich die Potenzreihe p mit p(x) = ; n = 1 • ( – 1) n + 1 __ n (x – 1) n ist. Berechne den Konvergenzradius dieser Potenzreihe. 885 Berechne die Taylorreihe in 0 der Funktion f: R ¥ R mit f(x) = e ‒x und bestimme deren Konvergenzradius. die Taylorreihe einer rationalen Funktion berechnen B ggb t6u8pm die Taylorreihe der Sinusfunktion berechnen B B D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv