Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

228 Funktionenreihen Taylorreihen Ist f eine beliebig oft differenzierbare Funktion und a ein Element ihres Definitionsbereichs, dann heißt die Potenzreihe mit Koeffizientenfolge k f(a), f’(a), 1 _ 2 f’’(a), …, 1 _ n! f (n) (a), … l und Entwicklungspunkt a die Taylorreihe T f, a von f in a . Die Taylorreihe T f, a (x) an der Stelle x ist also die Folge k T n, f, a (x) l der Funktionswerte an der Stelle x der n-ten Taylorpolynome von f in a. Wenn diese Folge konvergiert, ist ihr Grenzwert ; i = 0 • 1 _ i! f (i) (a)(x – a) i . Vorsicht: Dieser Grenzwert muss nicht immer f(x) sein! Es gilt aber: Wenn f um a in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, dann ist diese Potenzreihe die Taylorreihe von f in a. Potenzreihen haben viele Eigenschaften mit Polynomfunktionen gemeinsam, einige davon sind:  Potenzreihen sind beliebig oft differenzierbar und integrierbar, dabei kann „summandenweise“ differenziert und integriert werden: Die Ableitung von p mit p(x) = ; n = 0 • c n (x – a) n ist p’ mit p’(x) = ; n = 1 • n·c n (x – a) n – 1 und eine Stammfunktion von p ist P mit P(x) = ; n = 0 • 1 _ n + 1 ·c n (x – a) n + 1 .  Können zwei Funktionen um a in eine Potenzreihe entwickelt werden, dann auch Summen, Produkte und Vielfache davon.  Man kann zeigen: Exponentialfunktionen, die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion können um jede reelle Zahl a in eine Potenzreihe entwickelt werden, die überall konvergiert. Die Tangensfunktion ist auf 2 ‒ π _ 2 ; π _ 2 3 in eine Potenzreihe entwickelbar. Die Funktion f mit f(t) = ln(1 + t) ist über dem Intervall (‒1; 1), in eine Potenzreihe entwickelbar. Rationale Funktionen können um jede Zahl in ihrem Definitionsbereich in eine Potenzreihe entwickelt werden. Zur Entwicklung dieser Funktionen in eine Potenzreihe um a genügt es daher, ihre Taylorreihe in a zu berechnen. 880 Berechne die Taylorreihe in 0 der Exponentialfunktion f mit f(x) = e x . Die n-te Ableitung der Exponentialfunktion f an der Stelle 0 ist, weil f’ = f ist, immer f(0) = e 0 = 1. Die Koeffizientenfolge der Taylorreihe von f in 0 ist daher k 1, 1 _ 2! , 1 _ 3! , …, 1 _ n! , … l . Wegen lim n ¥ • 1 _ (n + 1)! _ 1 _ n! = lim n ¥ • 1 _ n + 1 = 0 ist der Konvergenzradius • , also gilt für alle Zahlen x e x = ; n = 0 • 1 _ n! x n . Taylorreihe Eigenschaften von Potenzreihen ggb/tns 694st8 die Taylorreihe der Exponential- funktion berechnen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv