Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

227 5.2 Potenzreihen b. Es ist g(x) = 1 _ 2 1 _ 1 – x _ 2 = 1 _ 2 f 2 x _ 2 3 = 1 _ 2 p 2 x _ 2 3 = 1 _ 2 ; i = 0 • 2 1 _ 2 3 i x i = ; i = 0 • 2 1 _ 2 3 i + 1 x i . Die Potenzreihe mit Koeffizientenfolge k 2 1 _ 2 3 i + 1 l hat den Konvergenzradius lim n ¥ • 2 2 1 _ 2 3 i + 1 _ 2 1 _ 2 3 i + 2 3 = 1 _ 1 _ 2 = 2. Die Potenzreihe q mit q(x) = ; i = 0 • 2 1 _ 2 3 i + 1 x i und die rationale Funktion g mit g(x) = 1 _ 2 – x stimmen also auf dem offenen Intervall (‒ 2; 2) überein. 873 Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe. a. f mit f(x) = ; n = 0 • 3 n _ n x n b. g mit g(x) = ; n = 0 • n!x n c. h mit h(x) = ; n = 0 • 3 n _ n! x n a. Es ist 3 n _ n _ 3 n+ 1 _ n + 1 = 1 _ 3 · n + 1 _ n und lim n ¥ • 2 1 _ 3 · n + 1 _ n 3 = 1 _ 3 · lim n ¥ • 2 n + 1 _ n 3 = 1 _ 3 . Der Konvergenzradius ist 1 _ 3 . b. Es ist n! _ (n + 1)! = 1 _ n + 1 und lim n ¥ • 1 _ n + 1 = 0. Der Konvergenzradius ist 0, die Reihe konvergiert nur an der Stelle 0. c. Es ist 3 n _ n! _ 3 n+ 1 _ (n + 1)! = 1 _ 3 ·(n + 1). Die Folgenglieder werden beliebig groß, daher ist der Konvergenzradius • und die Reihe konvergiert auf ganz R . 874 Entwickle die rationale Funktion f mit f(x) = 1 _ x + 1 um 0 in eine Potenzreihe und ermittle deren Konvergenzradius. 875 Entwickle die rationale Funktion f um 0 in eine Potenzreihe und berechne deren Konvergenzradius. a. f(x) = 1 _ 5 – x b. f(x) = 1 _ x – 2 c. f(x) = 1 _ x – 2 + 1 _ 5 – x d. f(x) = 2 _ x – 2 + 3 _ 5 – x 876 Entwickle die Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 + 2x + 3 um a in eine Potenzreihe. Berechne, an welchen Stellen diese Potenzreihe konvergiert. a. a = 0 b. a = 1 c. a = 2 d. a = ‒1 877 Zeige: Eine Polynomfunktion kann an jeder Stelle a in eine Potenzreihe entwickelt werden und diese konvergiert an jeder Stelle. 878 Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe f. a. f(x) = ; n = 0 • 2 5 n _ n 2 3 x n b. f(x) = ; n = 0 • 2 2 n _ (n + 1)! 3 x n c. f(x) = ; n = 0 • 2 n! _ 2 n 3 x n 879 Berechne den Konvergenzradius und den Definitionsbereich der Potenzreihe f. a. f(x) = ; n = 0 • 3 n ·(x – 1) n b. f(x) = ; n = 0 • 1 _ 2 n (x – 2) n c. f(x) = ; n = 0 • 1 _ n! (x + 1) n den Konvergenz- radius einer Potenzreihe berechnen B B B B D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv