Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

226 Funktionenreihen Ist lim n ¥ • |x – a|· | c n + 1 _ c n | > 1, dann ist die Reihe k ; i = 0 n c i (x – a) i l divergent. Ist lim n ¥ • | c n + 1 _ c n | = 0, dann ist die Potenzreihe für jede Zahl x konvergent. Ist lim n ¥ • | c n + 1 _ c n | ≠ 0, dann konvergiert die Potenzreihe für die Zahlen x mit |x – a| < 1 __ lim n ¥ • | c n+ 1 _ c n | . Aus den Rechenregeln für Grenzwerte folgt dann 1 __ lim n ¥ • | c n+ 1 _ c n | = lim n ¥ • | c n _ c n + 1 | . Diese Zahl nennen wir den Konvergenzradius der Potenzreihe. Daraus folgt: Eine Potenzreihe mit Koeffizientenfolge k c 0 , c 1 , c 2 , … c n , … l und Entwicklungspunkt a  ist entweder nur für x = a konvergent oder  für alle reellen Zahlen x absolut konvergent oder  es gibt eine Zahl r so, dass sie für alle x mit |x – a| < r absolut konvergent und für alle x mit |x – a| > r divergent ist. Wir nennen eine solche Zahl r den Konvergenzradius der Potenzreihe. Wenn die Folge k | c n _ c n + 1 | l konvergent ist, dann ist r = lim n ¥ • | c n _ c n + 1 | . Wenn die Folge k | c n + 1 _ c n | l gegen 0 konvergiert, dann konvergiert die Potenzreihe auf ganz R . Man sagt dann, der Konvergenzradius ist • („unendlich“). Wenn die Reihe nur an der Stelle a konvergiert, sagt man, dass der Konvergenzradius 0 ist. Wenn der Konvergenzradius r > 0 ist, definieren wir die Funktion p: (a – r; a + r) ¥ R mit p(x) = ; n = 0 • c n (x – a) n und nennen auch diese Funktion Potenzreihe mit Koeffizientenfolge k c n l und Entwicklungspunkt a. Wenn der Definitionsbereich einer gegebenen Funktion f das Intervall (a – s; a + s) enthält, dann sagt man, f kann über dem Intervall (a – s; a + s) in eine Potenzreihe entwickelt werden , wenn es eine Potenzreihe p mit Konvergenzradius r º s gibt so, dass für alle x in (a – s; a + s) gilt: f(x) = p(x). Die Funktion f um eine Zahl a in eine Potenzreihe entwickeln heißt, eine Koeffizientenfolge k c n l berechnen, sodass der Konvergenzradius r der entsprechenden Potenzreihe p mit Entwicklungs- punkt a nicht 0 ist und die Funktionswerte von p und f über einem Intervall (a – s; a + s) mit 0 < s ª r gleich sind. 872 Entwickle die rationale Funktion a. f mit f(x) = 1 _ 1 – x , b. g mit g(x) = 1 _ 2 – x um 0 in eine Potenzreihe und berechne ihren Konvergenzradius. a. Wir kennen bereits den Grenzwert der geometrischen Reihe ; i = 0 • x i = 1 _ 1 – x für |x| < 1. Dieser ist der Funktionswert der Potenzreihe mit Koeffizientenfolge k 1 l und Entwicklungs- punkt 0. Es ist lim n ¥ • | c n _ c n + 1 | = lim n ¥ • | 1 _ 1 | = 1, also ist der Konvergenzradius 1. Die Potenzreihe p mit p(x) = ; i = 0 • x i = 1 + x + x 2 + x 3 + … und die rationale Funktion f mit f(x) = 1 _ 1 – x stimmen also nur auf dem offenen Intervall (‒1; 1) überein. Konvergenz- radius einer Potenzreihe konvergiert divergiert divergiert 0 1 a a – r a + r r Potenzreihe eine Funktion in eine Potenzreihe entwickeln B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv