Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

225 5.2 Potenzreihen 869 a. Erkundige dich im Hilfemenü deiner DGS bzw. deines CAS nach dem Befehl, der automatisch zu einer beliebigen n-mal differenzierbaren Funktion und einer Zahl a das n-te Taylorpolynom dieser Funktion in a erzeugt. b. Erstelle einen Schieberegler, mit dem du n von 1 bis 40 variieren kannst. c. Stelle nun den Graphen der Sinusfunktion und den Graphen des zugehörigen Taylorpolynoms in 0 in einem Koordinatensystem dar. Beobachte, wie sich der Graph des Taylorpolynoms immer mehr dem Graphen der Sinusfunktion annähert, wenn n erhöht wird. d. Ab welcher Zahl n stimmen die Graphen der Sinusfunktion und ihres n-ten Taylorpolynoms im Intervall [‒ 2 π ; 2 π ] erstmals annähernd überein? Gib dieses an. 870 Nähere wie in Aufgabe 869 die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung φ mit φ (x) = 1 _ 9 __ 2 π e ‒ x 2 _ 2 durch das n-te Taylorpolynom in 0 an. Wähle die Zahl n möglichst klein, aber so, dass die Graphen des n-ten Taylorpolynoms und der Funktion φ über dem Intervall [‒1; 1] gut übereinstimmen. a. Gib das Taylorpolynom mit den gewünschten Eigenschaften an. b. Berechne mithilfe dieses Taylorpolynoms näherungsweise das Integral : ‒1 1 φ (x) dx. 871 Beobachte die Auswirkung der Wahl von a auf den Graphen des Taylorpolynoms T r, f, a . Erstelle dazu mithilfe deines CAS oder deiner DGS einen Schieberegler, mit dem man die Zahl a von 1 bis 36 variieren kann. Berechne dann das 4. Taylorpolynom in a der Funktion f mit f(x) = 9 _ x. Beobachte, wie sich der der Graph des Taylorpolynoms verändert, wenn a verändert wird und dokumentiere deine Beobachtungen. Potenzreihen Bei vielen Funktionen wird das Restglied des n-ten Taylorpolynoms mit wachsendem n beliebig klein, die Folge ihrer Restglieder konvergiert also gegen 0. In diesen Fällen kann man durch Berechnung von n-ten Taylorpolynomen mit wachsendem n die Funktionswerte der gegebenen Funktion immer besser durch die entsprechenden Funktionswerte ihrer Taylorpolynome approximieren. Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion f und eine Zahl a ist die Folge k T n, f, a (x) l = k f(a) + f’(a)(x – a) + … + 1 _ n! ·f (n) (a)(x – a) n l der Funktionswerte der n-ten Taylorpolynome von f eine Reihe, deren Summanden die Form c n (x – a) n haben. Sind eine Folge von reellen Zahlen k c 0 , c 1 , c 2 , …, c n , … l und reelle Zahlen a und x gegeben, dann nennen wir die Reihe k c 0 + c 1 (x – a) + c 2 (x – a) 2 + … c n (x – a) n l = k ; i = 0 n c i (x – a) i l die Potenzreihe mit Koeffizientenfolge k c 0 , c 1 , c 2 , …, c n , … l und Entwicklungspunkt a an der Stelle x . Wir überlegen uns für eine reelle Zahl a und eine reelle Folge k c n l , für welche Zahlen x die Potenzreihe k ; i = 0 n c i (x – a) i l konvergiert. Wenn c n (x – a) n ≠ 0 ist, dann ist |c n + 1 (x – a) n + 1 | __ |c n (x – a) n | = |x – a|· | c n + 1 _ c n | . Falls lim n ¥ • |x – a|· | c n + 1 _ c n | existiert, folgt aus dem Quotientenkriterium: Ist lim n ¥ • |x – a|· | c n + 1 _ c n | < 1, dann ist die Reihe k ; i = 0 n c i (x – a) i l absolut konvergent. B, C ggb pb8na2 A, B B, C Potenzreihe Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv