Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

224 Funktionenreihen 859 a. Finde mithilfe eines geeigneten CAS das 0., 1., …, 10. Taylorpolynom in 0 der Funktion f mit f(x) = cos 2 x _ 2 3 . b. Stelle die Graphen der Taylorpolynome und der Funktion für Winkel zwischen 0° und 180° in einem Diagramm dar. c. Vergleiche die relativen Fehler bei einer näherungsweisen Berechnung des Funktionswertes für 60°. d. Gib an, ab welchem n sich die Funktionswerte an der Stelle 60° von f und des n-ten Taylor- polynoms von f (in 0) um weniger als 10 ‒3 unterscheiden. 860 a. Ermittle die 4. Taylorpolynome in 0 der Funktionen f mit f(x) = sin(x), f(x) = sin 2 x _ 2 3 und f(x) = sin(2x). b. Finde die Taylorpolynome 4. Grades in 0 der Funktionen g mit g(x) = cos(x), g(x) = cos 2 x _ 2 3 und g(x) = cos(2x). c. Vergleiche die Taylorpolynome der Funktionen aus den Aufgaben a. und b. Beschreibe die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede. Begründe. 861 Begründe: Wenn f eine Polynomfunktion vom Grad n ist, dann sind für k º n die k-ten Taylor- polynome von f in 0 alle gleich f. Zeige damit, dass das k-te Taylorpolynom einer Polynomfunktion nicht immer den Grad k hat. 862 Für kleine Winkel x (im Bogenmaß) wird in der Physik die Näherung cos(x) ≈ 1 und sin(x) ≈ x verwendet. Argumentiere, warum für kleine x diese Näherung möglich ist. 863 In der speziellen Relativitätstheorie wird statt der Formel für die Energie-Impuls-Beziehung E = 9 ________ (m 0 c 2 ) 2 + (pc) 2 näherungsweise für kleine p die Formel E ≈ m 0 c 2 verwendet. Begründe das mithilfe eines geeigneten Taylorpolynoms. 864 Nach dem Gesetz von Torcelli ist die Ausflussgeschwindigkeit v einer Flüssigkeit gleich v = 9 ___ 2gh, dabei ist g die Erdbeschleunigung und h die Höhe der Flüssigkeit über dem Ausfluss. Finde eine lineare Funktion, die die Geschwindigkeit v in der Nähe von h = 1m gut annähert. 865 Für den Bau einer Rampe steht eine horizontale Länge von 5m zur Verfügung. Die Rampe soll etwa 1m vertikale Höhe überwinden. a. Finde eine geeignete lineare Funktion, die jeder vertikalen Höhe (in m) den dafür erforder- lichen Neigungswinkels a der Rampe zuordnet. b. Berechne für eine Höhe von 1,20m näherungsweise den Neigungswinkel in Grad und bestimme den relativen Fehler. 866 Berechne zur Polynomfunktion f mit f(x) = 3x 3 – 5x 2 + 7x – 9 das a. 1., b. 2., c. 3. Taylorpolynom in 0. Dokumentiere, was dir auffällt. 867 Das 4. Taylorpolynom einer viermal differenzierbaren Funktion f in a ist T 4, f, a mit T 4, f, a (x) = f(a) + f’(a)·(x – a) + 1 _ 2 f’’(a)·(x – a) 2 + 1 _ 6 f’’’(a)·(x – a) 3 + 1 _ 24 f (4) (a)·(x – a) 4 . a. Zeige durch Nachrechnen, dass T 4, f, a (a) = f(a) ist. b. Zeige durch Nachrechnen, dass T 4, f, a ’(a) = f’(a) ist. c. Zeige, dass auch die 2., 3. und 4. Ableitung von T 4, f, a und f an der Stelle a übereinstimmen. 868 Ermittle das 6. Taylorpolynom der Funktion f mit f(t) = cosh(t) = 1 _ 2 (e t + e ‒t ) in 0 und berechne damit näherungsweise cosh(2). ggb 4e94ww A, B, C B, C, D D D D A A, B B, C B, D B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv