Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

22 Grundlagen der Stochastik 87 Gib zum Zufallsexperiment die Grundmenge an. a. In einer Urne liegen 10 Lose mit den Nummern 1 bis 10. Ein Los wird gezogen. b. Von den vier Personen Walter, Xaver, Yannick und Zoltan werden zufällig zwei ausgewählt, wobei es auf die Reihenfolge der beiden gezogenen Personen nicht ankommt. c. In einem Kaffeehaus gibt es die Eissorten Vanille, Schokolade, Erdbeere, Haselnuss und Zitrone. Für einen Überraschungseisbecher werden zufällig drei verschiedene Eissorten ausgewählt, wobei es auf die Reihenfolge der Sorten nicht ankommt. 88 Berechne mithilfe der Kombinatorik, aus wie vielen Elementen die Grundmenge des beschriebe- nen Zufallsexperiments besteht. a. Es wird mit 3 verschiedenen Würfeln gewürfelt. b. Aus einer Klasse mit 23 Kindern werden zufällig 5 ausgewählt, wobei die Reihenfolge keine Bedeutung hat. c. Es wird ausgelost, in welcher Reihenfolge 10 Kandidaten zum Bewerbungsgespräch antreten. Absolute und relative Häufigkeit Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem ein Würfel 100-mal hintereinander geworfen wurde. Die Ausgänge sind in der nebenstehen- den Tabelle zusammengefasst. Die Augenzahl 1 wurde 15-mal geworfen. Wir sagen dann: „die absolute Häufigkeit von 1 ist 15“. Die absolute Häufigkeit der Augenzahl 2 ist 21. Betrachten wir den Anteil der Anzahl der Würfe mit Augenzahl 1 an allen Würfen, so erhalten wir 15 _ 100 oder 0,15 oder 15%. Diesen Anteil nen- nen wir die relative Häufigkeit der Augenzahl 1. Mit ω * Ω bezeichnen wir einen Ausgang eines Zufallsexperimentes ( ω ist der zu Ω gehörige Kleinbuchstabe „klein Omega“). Dann nennen wir die Anzahl des Auftretens von ω bei n Ver- suchsdurchführungen die absolute Häufigkeit und schreiben dafür H n ( ω ). Den Quotienten h n ( ω ) = H n ( ω ) _ n nennen wir die relative Häufigkeit von ω . Summieren wir im Beispiel die absoluten Häufigkeiten der Augenzahlen, also 15 + 21 + 17 + 14 + 18 + 15 = H 100 (1) + H 100 (2) + H 100 (3) + H 100 (4) + H 100 (5) + H 100 (6), so erhalten wir 100 oder die Anzahl der Würfe. Allgemein ist ; ω * Ω H n ( ω ) = n (sprich: „die Summe aller H n ( ω ) mit ω * Ω ist n“). Summieren wir die relativen Häufigkeiten der Augenzahlen, also 15 _ 100 + 21 _ 100 + 17 _ 100 + 14 _ 100 + 18 _ 100 + 15 _ 100 = h 100 (1) + h 100 (2) + h 100 (3) + h 100 (4) + h 100 (5) + h 100 (6) so erhalten wir 1. Die Summe der absoluten Häufigkeiten ist gleich n, also: ; ω * Ω H n ( ω ) = n Die Summe der relativen Häufigkeiten ist gleich 1, also: ; ω * Ω h n ( ω ) = ; ω * Ω H n ( ω ) _ n = 1 A B Augenzahl Anzahl der Würfe mit dieser Augenzahl 1 15 2 21 3 17 4 14 5 18 6 15 Summe 100 absolute und relative Häufigkeit Summe absoluter und relativer Häufigkeiten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv