Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

208 Differentialgleichungen 795 Eine Spule mit Induktivität L, ein Kondensator mit Kapazität C und ein Ohmscher Widerstand R sind in Serie geschaltet. Die Spannung an der Spannungsquelle (die Eingangsspannung) zur Zeit t bezeichnen wir mit x(t) = u e (t), die Spannung an der Serienschaltung von Kondensator und Ohmschem Widerstand (die Ausgangsspannung) mit y(t) = u a (t), die an der Spule mit u L (t) und die Stromstärke zur Zeit t mit i(t). Wir nehmen an, dass x(0) = y(0) = y’(0) = 0 ist. Aus der Physik ist bekannt, dass C·L·y’’ + C·R·y’ + y = C·R·x’ + x ist. Berechne die Übertragungsfunktion dieses Systems. Wir schreiben X für L {x} und Y für L {y}. Dann ist L {C·L·y’’ + C·R·y’ + y}(s) = C·L·s 2 · L {y}(s) + C·R·s· L {y}(s) + L {y}(s) = = (C·L·s 2 + C·R·s + 1)·Y(s) und L {C·R·x’ + x}(s) = C·R·s· L {x}(s) + L {x}(s) = (C·R·s + 1)·X(s). Wegen L {C·L·y’’ + C·R·y’ + y}(s) = L {C·R·x’ + x}(s) folgt daraus Y(s) = C·R·s + 1 ___ C·L·s 2 + C·R·s + 1 ·X(s). Daher ist H mit H(s) = C·R·s + 1 ___ C·L·s 2 + C·R·s + 1 die gesuchte Übertragungsfunktion. 796 Berechne die Übertragungsfunktion des LTI-Systems, das durch die gegebene Differential- gleichung beschrieben wird. a. y’ + 2·y = 3x’’ + 2x’ + x b. y’ – y = 2x’ c. y’ = x’’ d. y’ = x’ – x 797 Berechne die Übertragungsfunktion des LTI-Systems, das durch die folgende Differential- gleichung beschrieben wird. a. y’’ = 2x’’ + x b. y’’ – 2y’ + y = x’ – x c. y’’ + y’ = x’ d. y’’ + 3y’ + 4 = 3x’ – 2x 798 Die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems mit Eingangssignal x und Ausgangssignal y ist H mit H(s) = s + 1 __ s 2 + 2s + 3 . Welche der Differentialgleichungen könnte dieses System beschreiben? A y’ + y = x’’ + 2x’ + 3x B y’’ + 2y’ + 3y = x’ + x C y’’ + 2y’ + 3 = x’ + 1 Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne die Laplace-Transformation und kann sie für einige wichtige Funktionen berechnen. 799 Berechne die Laplace-Transformierte von f mit f(x) = 3· 2 x + e ‒2x 3 . Ich kenne Rechenregeln für die Laplace-Transformation und kann damit Funktionen berechnen, deren Laplace-Transformation gegeben ist. 800 Berechne mithilfe einer Partialbruchzerlegung eine Funktion f, deren Laplace-Transformierte die Funktion F mit F(s) = 1 __ s 2 – 5s + 6 ist. Ich kann mithilfe der Laplace-Transformation lineare Anfangswertaufgaben der Ordnung 1 und 2 mit konstanten Koeffizienten lösen. 801 a. Löse die Anfangswertaufgabe y’ + 2y = 3 und y(0) = 1 mithilfe der Laplace-Transformation. b. Löse die Anfangswertaufgabe y’’ – 3y’ + 2y = 4, y’(0) = 0 und y(0) = 1 mithilfe der Laplace- Transformation. die Übertragungs- funktion eines LTI-Systems berechnen B B B B, C B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv