Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

207 4.5 Laplace-Transformation Übertragungsfunktionen Eine Spule mit Induktivität L und ein Ohmscher Widerstand R sind in Serie geschaltet. Die Spannung an der Spannungsquelle (die Eingangsspannung) zur Zeit t bezeichnen wir mit u e (t), die Spannung an der Spule (die Ausgangsspannung) mit u a (t), die am Ohmschen Widerstand mit u R (t) und die Stromstärke zur Zeit t mit i(t). Wir beschreiben den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung, also zwi- schen den zwei Funktionen u e und u a : Aus der Maschenregel folgt u e = u R + u a . Es ist u R = i·R und u a = L·i’, also i’ = 1 _ L ·u a . Differenzieren ergibt u e ’ = u R ’ + u a ’ = i’·R + u a ’ = R _ L ·u a + u a ’, daher ist u a eine Lösung der Differentialgleichung u a ’ + R _ L ·u a = u e ’. Die Störfunktion dieser Differentialgleichung ist die Ableitung der Eingangsspannung. Wir nehmen an, dass u e (0) = u a (0) = 0 ist. Wir schreiben X = L {u e } und Y = L {u a }. Für alle s ist L { u a ’ + R _ L ·u a } (s) = L {u a ’}(s) + L { R _ L ·u a } (s) = s· L {u a } (s) + R _ L · L {u a } (s) = s·Y(s) + R _ L ·Y(s) und L {u e ’}(s) = s· L {u e }(s) = s·X(s). Wegen L  { u a ’ + R _ L ·u a } = L {u e ’} ist daher 2 s + R _ L 3 ·Y(s) = s·X(s) und Y(s) = s _ s + R _ L ·X(s). Die Funktion H mit H(s) = Y(s) _ X(s) = s _ s + R _ L heißt Übertragungsfunktion dieses Systems. Gibt man die Eingangsspannung und ihre Laplace- Transformierte X vor, dann kann die Laplace-Transformierte der Ausgangsspannung durch Multi- plikation mit der Übertragungsfunktion ermittelt werden: Y = H·X. Wird zum Beispiel die Eingangsspannung durch die Funktion x mit x(0) = 0 und x(t) = U 0 für t > 0 beschrieben, dann ist X(s) = U 0 _ s und Y(s) = H(s)·X(s) = U 0 _ s + R _ L . Das ist die Laplace-Transformierte der Funktion y mit y(t) = U 0 ·e ‒ R _ L ·t . Ordnet man jeder zweimal differenzierbaren Funktion x mit x’(0) = x(0) = 0 eine Lösung y der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten y’’ + a·y’ + b·y = u·x’’ + v·x’ + w·x bzw. y’ + a·y = u·x’’ + v·x’ + w·x mit y’(0) = y(0) = 0 zu, wobei a, b, u, v, w vorgegebene reelle Zahlen sind, so spricht man von einem LTI-System (LTI ist die Abkürzung für linear time invariant, auf Deutsch: linear und zeit- unabhängig). Die Funktion x heißt Eingangssignal , die Funktion y dann das x entsprechende Ausgangssignal . Sind X und Y die Laplace-Transformierten von x und y, dann heißt der Quotient H = Y _ X die Übertragungsfunktion des Systems. Ist die Übertragungsfunktion H bekannt, kann zu jedem Eingangssignal x das Ausgangssignal y als eine Funktion bestimmt werden, deren Laplace-Transformierte Y = H·X ist. u a u e R L Übertragungs- funktion eines LTI-Systems Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv