Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

206 Differentialgleichungen Lösen von linearen Anfangswertaufgaben der Ordnung 2 mithilfe der Laplace-Transformation Für reelle Zahlen a, b, c und d und eine Funktion g suchen wir eine zweimal differenzierbare Funktion f mit f’’ + a·f’ + b·f = g, f’(0) = c und f (0) = d. Wir betrachten die Einschränkung dieser Funktion auf R + . Wenn f’’ + a·f’ + b·f = g ist, dann muss auch L {f’’ + a·f’ + b·f} = L {g} sein. Aus den Eigenschaften der Laplace-Transformation folgt nun für alle s aus dem Definitions- bereich der Laplace-Transformierten L {g}(s) = L {f’’ + a·f’ + b·f}(s) = L {f’’} (s) + a· L {f’}(s) + b· L {f}(s) = = s 2 · L {f}(s) – s·f (0) – f’(0) + a·s· L {f}(s) – a·f(0) + b· L {f}(s) = = (s 2 + a·s + b)· L {f}(s) – (s + a)·d – c , daher ist L {f}(s) = L {g}(s) + (s + a)·d + c ___ s 2 + a·s + b . Wenn L {g} eine rationale Funktion ist, dann auch L {f} und suchen wir die Funktion f, deren Laplace-Transformierte diese rationale Funktion ist. Es liegt nahe, L {f} in Partialbrüche zu zerlegen und dann f zu ermitteln. 792 Berechne eine zweimal differenzierbare Funktion f von R nach R mit f’’ + 2f’ – 3f = 4, f(0) = 0 und f’(0) = 0. Wir betrachten zuerst die Einschränkung der gesuchten Funktion auf R + . Dann muss für s º 0 L {f’’ + 2f’‒ 3f}(s) = L {4}(s) sein. Wir schreiben F statt L {f}. Wegen L {f’’ + 2f’- 3f})(s) = L {f’’}(s) + 2 L {f’}(s) – 3 L {f}(s) = = s 2 F(s) – s·f (0) – f’(0) + 2(sF(s) – f(0)) – 3F(s) = s 2 F(s) + 2sF(s) – 3F(s) und L {g} = 4 _ s muss dann s 2 F(s) + 2sF(s) – 3F(s) = L (4)(s) = 4 _ s sein, also ist F(s) = 4 __ s·(s 2 + 2s – 3) . Wir zerlegen F in Partialbrüche: 4 __ s·(s 2 + 2s – 3) = ‒4 _ 3s + 1 __ 3·(s + 3) + 1 _ s – 1 = L { ‒4 _ 3 } (s) + 1 _ 3 L {g}(s) + L {h}(s). Aus der Tabelle lesen wir g(t) = e – 3t und h(t) = e t ab. Daher ist ‒4 _ 3s + 1 __ 3·(s + 3) + 1 _ s – 1 = 2 ‒4 _ 3 L {1} + 1 _ 3 L {g} + L {h} 3 (s) = L { 4 _ 3 + 1 _ 3 g + h } (s). Somit ist die Lösung der Anfangswertaufgabe die Funktion f mit f(t) = 2 ‒4 _ 3 + 1 _ 3 g + h 3 (t) = ‒4 _ 3 + 1 _ 3 ·e ‒3t + e t für t º 0. Man prüft nun leicht nach, dass f auf ganz R definiert ist und die Lösung des gege- benen Anfangswertproblems ist. 793 Löse die Anfangswertaufgabe mithilfe der Laplace-Transformation. a. f’’ + 3f’ + 2f = ‒2, f(0) = 1 und f’(0) = 0 d. f’’ + 3f’ + 5f = ‒2, f(0) = 1 und f’(0) = 0 b. f’’ + 3f’ + 2f = 1, f(0) = 0 und f’(0) = 0 e. f’’ + 2f’ + 2f = 1, f(0) = 0 und f’(0) = 0 c. f’’ – 4f’ + f = 1, f(0) = 0 und f’(0) = 0 f. f’’ – 4f’ + 7f = 1, f(0) = 1 und f’(0) = 0 794 Löse die Anfangswertaufgabe mithilfe der Laplace-Transformation. a. y’’ + 2y’ – 2y = g mit g(t) = 2t, y(0) = 1 und y’(0) = 0 b. y’’ + 2y’ + 2y = g mit g(t) = t + 1, y(0) = 1 und y’(0) = 1 c. y’’ + 8y’ + 20y = g mit g(t) = 8e ‒ t _ 4 , y’(0) = 0 und y(0) = 0. Lösen einer linearen Anfangswert- aufgabe der Ordnung 2 mithilfe der Laplace- Transformation eine lineare Anfangswert- aufgabe der Ordnung 2 mithilfe der Laplace- Transformation lösen B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv