Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

205 4.5 Laplace-Transformation Lösen von Anfangswertaufgaben der Ordnung 1 mithilfe der Laplace-Transformation Wir können die Laplace-Transformation zum Lösen von Anfangswertaufgaben mit linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwenden. Für reelle Zahlen a und d und eine Funktion g suchen wir eine differenzierbare Funktion f mit f’ + a·f = g so, dass f(0) = d ist. Wir betrachten die Einschränkung dieser Funktion auf R + . Wenn f’ + a·f = g ist, dann muss auch L {f’ + a·f} = L {g} sein. Aus den Eigenschaften der Laplace-Transformation folgt nun für alle s aus dem Definitions- bereich der Laplace-Transformierten L {g}(s) = L {f’ + a·f}(s) = L {f’}(s) + a· L {f}(s) = = s· L {f}(s) – f(0) + a· L {f}(s) = (s + a)· L {f}(s) – d, Daher ist L {f}(s) = L {g}(s) + d __ s + a . Wenn L (g) eine rationale Funktion ist, dann ist auch L {f} eine rationale Funktion und wir suchen die Funktion f, deren Laplace-Transformierte diese rationale Funktion ist. Es liegt nahe, L {f} in Partialbrüche zu zerlegen und dann f zu ermitteln. 788 Berechne eine differenzierbare Funktion f von R nach R mit f’ + f = 1 und f(0) = 0. Wir betrachten zuerst die Einschränkung der gesuchten Funktion auf R + . Dann muss für s º 0 L {f’ + f}(s) = L {1}(s) sein. Wir schreiben F statt L {f}. Wegen L {f’ + f}(s) = L {f’}(s) + L {f}(s) = s·F(s) – f(0) + F(s) = s·F(s) + F(s) = (s + 1)·F(s) muss (s + 1)·F(s) = L {1}(s) = 1 _ s sein, also ist F(s) = 1 __ s·(s + 1) . Die Funktion f ist durch F eindeutig bestimmt. Um sie zu finden, zerlegen wir F(s) in Partial- brüche: F(s) = 1 __ s·(s + 1) = 1 _ s – 1 _ s + 1 . Die Summanden sind Laplace-Transformierte von Funktionen, die wir aus der Tabelle kennen. Es ist 1 _ s – 1 _ s + 1 = L {g} (s) – L {h}(s) = L {g – h}(s) mit g(t) = 1 und h(t) = e ‒t . Somit ist die Lösung die Funktion f mit f(t) = (g – h)(t) = 1 – e ‒t für x º 0. Man prüft nun leicht nach, dass f auf ganz R definiert ist und die Lösung des gege- benen Anfangswertproblems ist. 789 Löse die Anfangswertaufgabe mithilfe der Laplace-Transformation. a. f’ + 2f = 3 und f(0) = 0 b. y’ – y = 2 und f(0) = 1 c. f’ – 1 _ 2 f = 5 und f(0) = ‒1 790 Löse die Anfangswertaufgabe mithilfe der Laplace-Transformation. a. y’ – 2y = g mit g(t) = 2t und f(0) = 0 c. y’ – 3y = g mit g(t) = t 2 + t und f(0) = ‒1 b. y’ + 3y = g mit g(t) = t 3 und f(0) = 1 d. y’ + 3y = g mit g(t) = 2·e t und f(0) = 1 791 Löse die Anfangswertaufgabe mithilfe der Laplace-Transformation. a. f’ – 6f = g mit g(t) = 7·cos(4t) und f(0) = 5 b. y’ + y = g mit g(t) = sin(t) + cos(t) und f(0) = 0 Lösen einer linearen Anfangswert- aufgabe der Ordnung 1 mithilfe der Laplace- Transformation eine Anfangswert- aufgabe mithilfe der Laplace- Transformation lösen B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv