Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

203 4.5 Laplace-Transformation Umkehrung der Laplace-Transformation Wir können auch umgekehrt fragen: Ist eine gegebene Funktion die Laplace-Transformierte einer Funktion von R + nach R und – wenn ja – von welcher? Mithilfe der Tabelle von Seite 201 können wir das für viele Funktionen beantworten, wir stellen dazu eine zweite Tabelle zusammen: F(s) f(t) mit L {f} = F 1 _ s 1 * R 1 _ s 2 t 1 _ s 3 1 _ 2 t 2 1 _ s – c e ct 1 _ (s – c) 2 t·e ct ω _ ω 2 + s 2 sin( ω t) s _ ω 2 + s 2 cos( ω t) ω __ ω 2 + (s – c) 2 e ct ·sin( ω t) s – c __ ω 2 + (s – c) 2 e ct ·cos( ω t) Können zwei stetige Funktionen von R + nach R dieselbe Laplace-Transformierte haben und trotz- dem verschieden sein? Nein, man kann zeigen, dass das nicht möglich ist. Wenn f und g stetige Funktionen von R + nach R sind, dann folgt aus L {f} = L {g}, dass f = g ist. 778 Finde eine Funktion f: R + ¥ R , deren Laplace-Transformierte die Funktion F ist. a. F(s) = 5 _ (s – 3) 2 b. F(s) = 20 __ s 2 + 4s + 104 a. Es ist L {f}(s) = 5· 1 _ (s – c) 2 mit c = 3. Aus der Tabelle lesen wir ab: f ist die Funktion mit f(t) = 5t·e 3t . b. Wir formen F(s) zu ω __ ω 2 + (s – c) 2 um. Aus ω 2 + (s – c) 2 = s 2 – 2sc + (c 2 + ω 2 ) = s 2 – 4s + 104 folgt ‒ 2c = + 4, also c = ‒ 2, und ω 2 + c 2 = 104, also ω = 10. Also ist L {f}(s) = 2· 10 __ 10 2 + (s – (‒2)) 2 . Daher ist f die Funktion mit f(t) = 2·e ‒2t ·sin(10t). 779 Finde eine Funktion f: R + ¥ R , deren Laplace-Transformierte die Funktion L {f} ist. a. L {f}(s) = 12 _ s 3 b. L {f}(s) = 72 _ s 5 c. L {f}(s) = 2 _ (s – 5) 2 eine Funktion bestimmen, deren Laplace- Transformierte gegeben ist B mcd 99e9ru B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv