Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

202 Differentialgleichungen 764 Berechne die die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(x) = 2 + 3x – e x . Wir bezeichnen mit f 1 die konstante Funktion 1, mit f 2 die identische Funktion und mit f 3 die Exponentialfunktion mit f 3 (x) = e x . Dann ist f = 2·f 1 + 3·f 2 – f 3 , also L {f} = 2· L {f 1 } + 3· L {f 2 } – L {f 3 }, somit ist für alle reellen Zahlen s > 1 L {f}(s) = 2· L {f 1 }(s) + 3· L {f 2 }(s) – L {f 3 }(s) = 2 _ s + 3 _ s 2 – 1 _ s – 1 . 765 Ermittle die Laplace-Transformierte der Funktion f. a. f(x) = 5x 3 b. f(t) = 7sin(t) c. f(x) = 5e x d. f(t) = 4cos(t) 766 Ermittle die Laplace-Transformierte der Funktion f. a. f(x) = 2x 4 – 5x 3 + 6x 2 – 7x + 2 b. f(x) = 6x 5 – 8x 4 + 3x 3 – 5x 2 + 4x – 9 767 Berechne die Laplace-Transformierte der allgemeinen Sinusfunktion f. a. f(t) = A·sin( ω t) b. f(t) = A·sin( ω t – φ ). a. Mit h bezeichnen wir die Sinusfunktion und mit g die Funktion mit g(t) = sin( ω t). Für alle positiven reelle Zahlen s ist dann L {f}(s) = A· L {g}(s) = A· 1 _ ω · L {h} 2 s _ ω 3 = A· 1 _ ω · 1 _ 1 + 2 s _ ω 3 2 = A· ω _ ω 2 + s 2 . b. Mit dem Verschiebungssatz erhalten wir aus Aufgabe a. direkt L {f}(s) = e ‒ φ s · A· ω _ ω 2 + s 2 . 768 Mit f bezeichnen wir die Funktion mit f(t) = e 5t . Begründe: Für alle positiven reellen Zahlen s ist L {f}(s) = 1 _ s – 5 . 769 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(t) = 2e 4t . 770 Mit f bezeichnen wir die Funktion mit f(t) = t·e 5t . Begründe: Für alle positiven reellen Zahlen s ist L {f}(s) = 1 _ (s – 5) 2 . 771 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(t) = cos(2t). 772 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f. a. f(x) = 2sin(x) + 3cos(x) c. f(x) = e x + sin(x) + x 2 b. f(x) = sin(x) + 3 d. f(t) = t·e t + 2t·sin(t) 773 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion. a. f mit f(t) = (t + 1)e ‒2t b. g mit g(t) = 2sin(3t) c. h mit h(t) = cos(t)e ‒3t 774 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(t) = { (t – 3) 2 0 für t º 3 für t < 3 . Welchen Satz verwendest du dabei? 775 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(t) = e ‒ t _ 2 . Welchen Satz verwendest du dabei? 776 Berechne die Laplace-Transformierte der Funktion f mit f(t) = sin 2 ω t _ 2 3 . Welchen Satz verwendest du dabei? 777 Ermittle die Laplace-Transformierte von f mit f(t) = U 0 ·(1 – e ‒3t ). die Laplace- Transformierte einer Funktion berechnen B mcd/tns u2d6tb B B die Laplace- Transformierte einer allgemei- nen Sinusfunk- tion berechnen B D B D B B B B, C B, C B, C B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv