Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

195 4.4 Uneigentliche Integrale Ich lerne zu überprüfen, ob ein uneigentliches Integral existiert. Ich lerne uneigentliche Integrale zu berechnen. Im dritten Jahrgang haben wir das bestimmte Integral : a b f(x) dx von einer reellwertigen Funktion f, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] definiert ist, kennengelernt. Wenn f keine negativen Funktionswerte hat, haben wir : a b f(x) dx als die „Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f“ interpretiert. Wir haben auch gelernt, dass man das Integral von f von a bis b mithilfe jeder Stammfunktion F von f berechnen kann: : a b f(x) dx = F(b) – F(a). In diesem Abschnitt erweitern wir den Begriff des bestimmten Integrals auf Funktionen, deren Definitionsbereich eine Halbgerade oder ein nicht abgeschlossenes Intervall ist. Wir betrachten reelle Zahlen a und b mit a < b und eine stetige Funktion f: (a; b] ¥ R . Beachte: a liegt nicht im Definitionsbereich von f. Wenn der Grenzwert der Funktion h: (a; b] ¥ R mit h(z) = : z b f(x) dx an der Stelle a existiert schrei- ben wir dafür : a b f(x) dx = lim z ¥ a : z b f(x) dx und nennen ihn das uneigentliche Integral von f von a bis b . Wenn f auf dem Intervall keine negativen Funktionswerte hat, dann nennen wir : a b f(x) dx die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b) und unter dem Graphen von f. Falls der Definitionsbereich von f gleich [a; b] ist, definieren wir analog : a b f(x) dx = lim z ¥ b : a z f(x) dx. Erinnern wir uns: Eine Zahl w ist der Grenzwert einer Funktion h: [a; • ) ¥ R bei gegen unendlich gehenden Argumenten , wenn es für jede positive reelle Zahl u eine reelle Zahl c gibt, sodass für alle reellen Zahlen d mit d > c gilt: |f(d) – w| < u. (Schlampiger formuliert: Für genügend große Zahlen d ist f(d) beliebig nahe bei w.) Wir schreiben dann w = lim z ¥ • h(z). Das ermöglicht uns die folgende Definition: Wir betrachten eine reelle Zahl a und eine stetige Funktion f: [a; • ) ¥ R . Wenn der Grenzwert der Funktion h: [a; • ) ¥ R mit h(z) = : a z f(x) dx bei gegen unendlich gehen- den Argumenten existiert, schreiben wir dafür : a • f(x) dx = lim z ¥ • : a z f(x) dx und nennen ihn das uneigentliche Integral von f von a bis • . uneigentliche Integrale über einem Intervall Grenzwert bei gegen unendlich gehenden Argumenten uneigentliches Integral über einer Halbgeraden Nur zu Prüfzwecken – Ei e tum des Verlags öbv