Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

194 Differentialgleichungen Wenden wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Exponentialfunktion an, erhalten wir y(x) _ N – y(x) = e N(k·x + c) y(x) = N·e N(k·x + c) – y(x)·e N(k·x + c) und schließlich y(x) = N·e N(k·x + c) __ 1 + e N(k·x + c) = N __ e ‒N(k·x + c) + 1 . Für N = 1 000000 und k = 10 – 6 erhalten wir als Lösung zunächst die Funktion f mit f(t) = 1000000 ___ e ‒t ·e ‒1000000c + 1 . Da f(0) = 100 sein soll, muss e ‒1000000c = 9999 sein. Somit ist f(t) = 1000000 __ 9999·e ‒t + 1 . 734 Auf einer kleinen Insel reicht das Nahrungsangebot für maximal 150 Ziegen. Die Zunahme der Ziegen ist daher proportional zum Produkt der Anzahl der derzeit auf der Insel lebenden Ziegen und der Differenz zwischen der maximalen Anzahl der Ziegen und den derzeit auf der Insel lebenden Ziegen. a. Finde eine Differentialgleichung, deren Lösung die Anzahl der auf der Insel lebenden Ziegen beschreibt. b. Löse die Differentialgleichung aus Aufgabe a. , wenn zum Zeitpunkt 0 insgesamt 50 Ziegen auf der Insel leben und ein Jahr später bereits 60 Ziegen auf der Insel leben. c. Stelle die Lösung von Aufgabe b. in einem Diagramm dar und beschreibe die Entwicklung der Anzahl der Ziegen auf der Insel. 735 In einem abgeschiedenen Dorf leben 1 600 Einwohner. Unter diesen breitet sich eine Krankheit aus, dabei ist die momentane Änderungsrate der Anzahl der Erkrankten proportional zum Pro- dukt der Anzahl der derzeit Kranken und der Anzahl der noch gesunden Personen. a. Finde eine Differentialgleichung, deren Lösung jedem Zeitpunkt die Anzahl der erkrankten Personen zuordnet. b. Löse die Differentialgleichung aus Aufgabe a. unter der Annahme, dass zum Zeitpunkt 0 insgesamt 30 Personen erkrankt waren und nach einer Woche bereits 40 Personen krank sind. c. Stelle die Lösung aus Aufgabe b. in einem Diagramm dar und beschreibe die Entwicklung der Erkrankten. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne einige Differentialgleichungen, die nicht linear sind oder deren Koeffizienten nicht konstant sind. 736 a. Bestimme die Ordnung der Differentialgleichung y’’·y’’ – y·y’ = s mit s(x) = ‒ 2x 3 – 2x + 4. b. Zeige, dass die Funktion f mit f(x) = x 2 + 1 eine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Ich kenne das Richtungsfeld von Differentialgleichungen der Ordnung 1. 737 Skizziere das Richtungsfeld der Differentialgleichung y’ = (y – 1)·g mit g(x) = x 2 . Ich kenne die Methode der „Trennung der Variablen" zum Lösen einiger Differentialgleichungen. 738 Löse die lineare Differentialgleichung y’ = y 2 ·s mit s(x) = x 2 . t f(t) 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 200000 400000 600000 1000000 800000 A, B, C A, B, C C, D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv