Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

193 4.3 Einige andere Differentialgleichungen 729 Finde eine differenzierbare Funktionen y: M ¥ R mit y’ = y 2 und y(1) = 1. Wir formen y’ = y 2 zu y’ _ y 2 = 1 um. Nach der Kettenregel ist 2 1 _ y 3 ’ = ‒ y’ _ y 2 . Daher ist ‒ 1 _ y eine Stammfunktion von y’ _ y 2 . Eine Stammfunktion von 1 ist die Funktion f mit f(x) = x. Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur durch Addition einer konstanten Funktion. Daher ist ‒ 1 _ y = f + c. Aus y(1) = 1 folgt ‒1 = 1 + c, also ist c = ‒ 2. Für alle x mit y(x) ≠ 0 ist ‒ 1 _ y(x) = x – 2 und für alle x ≠ 2 ist y(x) = ‒ 1 _ x – 2 . 730 Finde alle differenzierbaren Funktionen y so, dass y’ = g·y 2 ist. Dabei ist g die Funktion mit g(x) = x. 731 Finde alle differenzierbaren Funktionen y so, dass y’ = g·y ist. Dabei ist g eine Funktion, von der wir eine Stammfunktion G kennen. 732 Bestimme alle differenzierbaren Funktionen y: (1; 2) ¥ R . a. y’ = y 3 b. y’ = 1 _ y c. y’ = ‒ a _ y mit a(x) = x d. y’ = a·y 2 mit a(x) = sin(x) 733 Finde alle differenzierbaren Funktionen y: R + ¥ R mit y’ = k·y·(N ‒ y) wobei k und N positive reelle Zahlen sind. Zeichne dann den Graph von y für N = 1 000000, k = 10 – 6 und f(0) = 100. Wir schreiben y’ = k·y·(N – y) zu y’ __ y·(N – y) = k um. Mit Partialbruchzerlegung berechnen wir y’ __ y·(N – y) = 1 _ N 2 y’ _ y + y’ _ N – y 3 . Eine Stammfunktion von y’ _ y ist die Funktion F 1 mit F 1 (x) = ln 2 |y(x)| 3 und von y’ _ N – y die Funktion F 2 mit F 2 (x) = ‒ ln 2 |N – y(x)| 3 . Wir können davon ausgehen, dass für alle x > 0 gilt: 0 ≤ y(x) und 0 ≤ N – y(x). Daher können wir die Betragstriche weglassen. F = 1 _ N (F 1 + F 2 ) mit F(x) = 1 _ N ln 2 y(x) _ N – y(x) 3 ist eine Stammfunktion von y’ __ y·(N – y) . Eine Stammfunktion von k ist die Funktion G mit G(x) = k·x, also muss für alle positiven reellen Zahlen x gelten: ln 2 y(x) _ N – y(x) 3 = N·F(x) = N·(G(x) + c) = N(k·x + c), dabei ist c eine reelle Zahl. eine Differential- gleichung mit der Methode der Trennung der Variablen lösen B B B B die logistische Differential- gleichung mit der Methode der Trennung der Variablen lösen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv