Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

192 Differentialgleichungen 722 Löse Aufgabe 721 mithilfe eines CAS. 723 Zeichne das Richtungsfeld der Differentialgleichung y’ = s mit s(x) = x 2 . Skizziere dann den Graphen einer Lösung, der den Punkt (0 1 0) enthält. Die Methode „Trennung der Variablen“ Mithilfe der Kettenregel kann man das Lösen von manchen Differentialgleichungen der Ordnung 1 auf das Berechnen von Stammfunktionen zurückführen. Da man dazu zuerst alle „y und y’ auf eine Seite“ und alles andere auf die andere Seite des Gleichheitszeichens schreibt, nennt man diese Vorgangsweise Methode der Trennung der Variablen. 724 Finde eine Lösung der Differentialgleichung y’ = s _ y mit s(x) = 3x so, dass y(2) = 0 ist. Wir formen y’ = s _ y zu y·y’ = s um. Nach der Kettenregel ist (y 2 )’ = 2y·y’, daher ist y 2 _ 2 eine Stammfunktion von y·y’. Eine Stammfunktion von s ist die Funktion S mit S(x) = 3x 2 _ 2 . Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur durch Addition einer konstanten Funktion. Wegen y·y’ = s muss daher y 2 _ 2 = S + c sein, also ist für alle Zahlen x y(x) 2 _ 2 = 3x 2 _ 2 + c. Wegen y(2) = 0 ist 0 = 3·4 _ 2 + c = 6 + c, somit ist c = ‒ 6 und y(x) 2 _ 2 = 3x 2 _ 2 – 6. Daher ist y(x) 2 = 3x 2 ‒ 12. Die Zahl y(x) 2 kann nicht negativ sein, daher muss 3x 2 – 12 º 0 sein, das heißt: Der Definitions- bereich der Funktion y ist die Menge aller Zahlen x mit |x| º 2. Für solche x ist y mit y(x) = 9 _____ 3x 2 – 12 eine Lösung mit y(2) = 0. 725 Finde eine Lösung der Differentialgleichung y’ = s _ y mit s(x) = ‒ x _ 2 so, dass y(4) = 0 ist. 726 Finde eine Lösung der Differentialgleichung y’ = s _ y mit s(x) = x + 1 so, dass y(0) = 0 ist. 727 Berechne zunächst alle Lösungen der Differentialgleichung y’ = s _ y mit s(x) = x und gib dann eine Lösung an, für die y(0) = 2 ist. 728 Gegeben ist die Differentialgleichung y’ = f _ y mit f(x) = x. a. Zeichne das Richtungsfeld dieser Differentialgleichung. b. Zeige mit der Methode der Trennung der Variablen: Wenn y eine Lösung dieser Differential- gleichung ist, dann gibt es eine Zahl c so, dass für alle Zahlen x gilt: y(x) 2 – x 2 = c. c. Nach Aufgabe b. ist der Graph von y in der Menge M c = { (x, u) ‡ u 2 – x 2 = c } enthalten. Erstelle einen Schieberegler für die in Aufgabe b. auftretende Zahl c und zeichne die Menge M c in das Koordinatensystem mit dem Richtungsfeld. d. Dokumentiere mithilfe von drei charakteristischen Screenshots, welchen Einfluss die Zahl c auf die Menge M c hat. B B, C eine Differential- gleichung mit der Methode der Trennung der Variablen lösen B B B B B, C, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv