Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

189 4.3 Einige andere Differentialgleichungen Ich lerne einige Differentialgleichungen, die nicht linear sind oder deren Koeffizienten nicht konstant sind, kennen. Ich lerne das Richtungsfeld von Differentialgleichungen der Ordnung 1 kennen. Ich lerne die Methode der „Trennung der Variablen“ zum Lösen einiger Differentialgleichun- gen kennen. Differentialgleichungen Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. In einem Behälter, in dem für höchstens N Bakterien Nährstoffe vorhanden sind, befinden sich zu Beginn der Beobachtung B Bakterien (dabei ist B < N). Wie viele Bakterien befinden sich x Stunden später in diesem Behälter? Mit f bezeichnen wir die Funktion, die jeder nicht-negativen reellen Zahl x die Anzahl der Bakterien x Stunden nach Beginn der Beobachtung zuordnet. Da wir diese Anzahl nicht nur in regelmäßigen Abständen, sondern zu jedem Zeitpunkt bestimmen wollen, sind die Argumente und die Funktionswerte von f reelle (und nicht nur natürliche) Zahlen. Aus der Biologie ist bekannt: Wären immer genug Nähr- stoffe vorhanden, wäre die Ableitung f’ von f proportional zu f. Da die Nährstoffe aber nur für höchstens N Bakterien reichen, ist die Ableitung proportional zu f·(N – f). Wir erhalten daher f’ = k·f·(N – f), wobei k eine gewisse positive Zahl ist und die Zahl N als konstante Funktion betrachtet wird. Die Aufgabe, nach Vorgabe von k und N alle differenzierbaren Funktionen f mit f’ = k·f·(N – f) und f(0) = B zu bestimmen, heißt logistische Differentialgleichung . Diese Differentialgleichung ist nicht linear. Erinnern wir uns: Im zweiten Jahrgang haben wir „logistisches Wachstum“ durch eine Folge beschrieben, welche die Lösung einer bestimmten Differenzengleichung war. Nun haben wir idealisierend angenommen, dass die Anzahl der Bakterien nicht nur nach bestimmten Zeit- intervallen, sondern jederzeit bestimmt werden kann. Der Definitionsbereich der Funktion f, die das Bakterienwachstum beschreibt, ist daher die Menge der reellen Zahlen (und nicht mehr, wie bei einer Folge, die Menge der natürlichen Zahlen) und die Bedingung, die f erfüllen muss, ist eine Differentialgleichung (und nicht mehr eine Differenzengleichung). Differentialgleichungen sind Aufgaben, bei denen differenzierbare Funktionen gesucht sind, die eine Bedingung erfüllen, welche mithilfe der Ableitungen der gesuchten Funktionen formuliert wurde. Die Funktionen, die diese Bedingung erfüllen, heißen Lösungen der Differentialgleichung. Kommt in dieser Bedingung die n-te Ableitung der gesuchten Funktionen, aber keine höhere vor, dann spricht man von Differentialgleichungen der Ordnung n. Beispiel: Die Differentialgleichung „Finde alle 3-mal differenzierbaren Funktionen f mit f’’’ + 5(f’) 2 + f 4 = 1“ hat die Ordnung 3. 713 Bestimme die Ordnung der Differentialgleichung y’ + (y’) 2 + 9y 2 = s mit s(x) = 6·cos(3x) + 36 und überprüfe, ob die Funktion f mit f(x) = 2·sin(3x) eine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Die höchste in y’ + (y’) 2 + 9y 2 = s vorkommende Ableitung ist die erste, daher hat diese Differenti- algleichung die Ordnung 1. Wegen f’(x) = 6·cos(3x) ist f’(x) + (f’(x)) 2 + 9f(x) 2 = 6·cos(3x) + 36·cos(3x) 2 + 36·sin(3x) 2 = 6·cos(3x) + 36 = s(x), daher ist f eine Lösung dieser Differentialgleichung. Differential- gleichung Ordnung überprüfen, ob eine gegebene Funktion Lösung einer gegebenen Differential- gleichung ist B, C mcd r2sj45 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv