Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

188 Differentialgleichungen 708 An einem RLC-Serienschwingkreis (siehe Zeichnung) wird eine sinus- förmige Wechselspannung angelegt. Nach t Sekunden ist diese Erreger- spannung (mit Erregerkreisfrequenz ω ) U 0 ·sin( ω t), die Spannung am Kondensator (mit Kapazität C) u C (t), die Spannung an der Spule (mit Induktivität L) u L (t), die Spannung am Ohmschen Widerstand R u R (t) und die Stromstärke i(t). Zur Zeit 0 s fließt kein Strom durch den Kon- densator und die Spannung am Kondensator ist 0V, also: u C (0) = 0 und i(0) = 0. Aus der Elektrotechnik ist bekannt: u R = i R ·R, u L = L·i’ und i = C·u C ’. a. Verwende die Maschenregel u R (t) + u L (t) + u C (t) = U 0 ·sin( ω t), um eine Differentialgleichung zu erstellen, welche die Funktion u C als Lösung mit u C (0) = 0 und u C ’(0) = 0hat. b. Löse diese Anfangswertaufgabe. Unterscheide dabei die je nach Vorgabe von U 0 , ω , R, L und C auftretenden Fälle. c. Skizziere den Graphen der Funktion u C (dabei ist der Definitionsbereich die Menge der nicht- negativen reellen Zahlen) für U 0 = 100V, R = 1 000 Ω , L = 0,05H und C = 10 μ F. d. Skizziere den Graphen der Funktion u C (dabei ist der Definitionsbereich die Menge der nicht- negativen reellen Zahlen) für U 0 = 100V, R = 141 Ω , L = 0,05H und C = 10 μ F. e. Skizziere den Graphen der Funktion u C (dabei ist der Definitionsbereich die Menge der nicht- negativen reellen Zahlen) für U 0 = 100V, R = 20 Ω , L = 0,05H und C = 10 μ F. 709 a. Überlegt, ob es zu jedem Paar reeller Zahlen (u, v) ein Paar reeller Zahlen (m, n) gibt so, dass die Funktion f mit f(x) = m·cos(x) + n·sin(x) eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + y’ + y = s mit s(x) = u·cos(x) + v·sin(x) ist. b. Überlegt dasselbe für die Differentialgleichung y’’ + y = s. c. Für welche reellen Zahlen a gibt es zu jedem Paar (u, v) ein Paar (m, n) so, dass die Funktion f mit f(x) = m·cos(x) + n·sin(x) eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + ay’ + y = s ist? Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten lösen. 710 Löse die lineare Differentialgleichung y’’ + 2y’ – 8y = s, dabei ist s die Polynomfunktion mit s(x) = x 2 + x. Ich kann lineare Anfangswertaufgaben der Ordnung 2 mit konstantem Koeffizienten lösen. 711 Löse die Anfangswertaufgabe y’’ – y’ + 2y = s mit s(t) = sin(2t), y(0) = 1 und y’(0) = 1. Ich kenne die Lösungsfälle der linearen Schwingungsgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann entsprechende Aufgaben lösen. 712 Bis zum Zeitpunkt 0 s war an einem Serienschwingkreis mit Ohmschem Widerstand R, Spule mit Induktivität L = 0,5H und Kondensator mit Kapazität C = 80 μ F eine Gleichspannung der Stärke U 0 = 100V angelegt. Ab diesem Zeitpunkt wird der Schwingkreis kurzgeschlossen. Bestimme die Funktion u C , die jedem Zeitpunkt t den Spannungsabfall u C (t) am Kondensator zuordnet. Diese ist Lösung der Anfangswertaufgabe u C ’’ + R _ L ·u C ’ + 1 _ LC ·u C = 0, u C (0) = U 0 und u C ’(0) = 0. a. Bestimme, für welche Widerstände R der Schwingungsfall, der aperiodische Grenzfall und der Kriechfall eintritt. b. Wähle für jeden der drei Fälle einen Widerstand und berechne die Lösung. t = 0s U 0 R L u R u L u C C A, B C B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv