Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

187 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 705 Eine Masse mit einer Gewichtskraft von 19,6N dehnt eine Feder um 4 cm. Die Masse wird um 5 cm ausgelenkt und danach ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. Wir setzen voraus, dass es keine Dämpfung gibt und dass zur jedem Zeitpunkt t eine äußere Kraft von 10·cos(3t) N wirkt. a. Formuliere eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung die Funktion y ist, die jedem Zeitpunkt t den Abstand y(t) der Masse vom Nullpunkt angibt. b. Löse diese Anfangswertaufgabe. c. Die gegebene äußere Kraft wird zu jedem Zeitpunkt t durch die Kraft 4sin( ω t) N mit der Frequenz ω ersetzt. Berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe in Aufgabe a. für diese äußere Kraft. d. Skizziere den Graphen der Funktion, die der Frequenz ω die Amplitude der Lösung der Anfangswertaufgabe mit äußerer Kraft 4sin( ω t) N zuordnet. Interpretiere diesen Graphen. 706 Das Gewicht einer Masse von 5 kg dehnt eine Feder um 10 cm. Auf die Masse wirkt zur Zeit t eine äußere Kraft von 10 sin 2 t _ 2 3 N. Sie bewegt sich in einem Medium, das eine Viskositätskraft von 2N bei einer Geschwindigkeit von 4 cm/s bewirkt. Die Masse wird aus ihrer Gleichgewichtslage mit einer Geschwindigkeit von 8 cm/s in Bewegung gesetzt. a. Formuliere eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung die Funktion y ist, die jedem Zeitpunkt t den Abstand y(t) der Masse vom Nullpunkt angibt. b. Löse diese Anfangswertaufgabe. c. Die gegebene äußere Kraft wird zu jedem Zeitpunkt t s durch die Kraft 2cos( ω t) N mit der Frequenz ω ersetzt. Berechne die Lösung der Anfangswertaufgabe in Aufgabe a. für diese äußere Kraft. d. Skizziere den Graphen der Funktion, die der Frequenz ω die Amplitude der Lösung der Anfangswertaufgabe mit äußerer Kraft 4sin( ω t) N zuordnet. Berechne eine Maximumstelle dieser Funktion. e. Begründe, warum die in Aufgabe d. berechnete Maximumstelle als „Resonanzkreisfrequenz“ des gegebenen Feder-Masse-Systems bezeichnet wird. 707 An einem RLC-Serienschwingkreis (siehe Zeichnung) wird eine Gleich- spannung U 0 angelegt. Zur Zeit t ist die Spannung am Kondensator (mit Kapazität C) u C (t), die Spannung an der Spule (mit Induktivität L) u L (t), die Spannung am Ohmschen Widerstand R ist u R (t) und die Stromstärke i(t). Zur Zeit 0 s fließt kein Strom durch den Kondensator und die Span- nung am Kondensator ist 0V, also: u C (0) = 0 und i(0) = 0. Aus der Elektrotechnik ist bekannt: u R = i R ·R, u L = L·i’ und i = C·u C ’. a. Verwende die Maschenregel u R + u L + u C = U 0 , um eine Differentialgleichung zu erstellen, welche die Funktion u C als Lösung mit u C (0) = 0 und u C ’(0) = 0hat. b. Löse diese Anfangswertaufgabe. Unterscheide dabei die je nach Vorgabe von U 0 , R, L und C auftretenden Fälle. c. Skizziere den Graphen der Funktion u C (dabei ist der Definitionsbereich die Menge der nicht- negativen reellen Zahlen) für U 0 = 100V, R = 1 000 Ω , L = 0,05H und C = 10 μ F. d. Skizziere den Graphen der Funktion u C (dabei ist der Definitionsbereich die Menge der nicht- negativen reellen Zahlen) für U 0 = 100V, R = 141 Ω , L = 0,05H und C = 10 μ F. e. Skizziere den Graphen der Funktion u C (dabei ist der Definitionsbereich die Menge der nicht- negativen reellen Zahlen) für U 0 = 100V, R = 20 Ω , L = 0,05H und C = 10 μ F. A, B, C A, B, D t = 0s U 0 R L u R u L u C C A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv