Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

186 Differentialgleichungen 695 Ermittle die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ – 4y’ + 4y = s, wenn s mit s(x) = 8sin(x) + 6cos(x) gegeben ist. 696 Löse die Differentialgleichung y’’ + 7y’ + 10y = s, dabei ist s die Funktion mit s(x) = 16sin(x) – 2cos(x). 697 Berechne die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ – 2y’ + 10y = s, wenn s mit s(x) = 6sin(2x) – 4cos(2x) gegeben ist. 698 Löse die Differentialgleichung y’’ + 5y’ – 6y = s, dabei ist s die Funktion mit s(x) = 8e 2x . 699 Berechne die Lösung der Differentialgleichung y’’ + 2y’ – 5y = s, wenn s mit s(t) = e 2t gegeben ist. 700 Bestimme die Lösung der Differentialgleichung y’’ – 6y’ + 9y = s, dabei ist s die Funktion mit s(x) = 32·e ‒5x . 701 Finde eine Lösung der Differentialgleichung y’’ – 2y’ – 3y = s mit s(t) = cos(t) + 5e t . Gib dann die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung an. Weil die Differentialgleichung linear ist, ist die Summe einer Lösung von y’’ – 2y’ – 3y = s 1 mit s 1 (t) = cos(t) und von y’’ – 2y’ – 3y = s 2 mit s 2 (t) = 5e t eine Lösung von y’’ – 2y’ – 3y = s. Lösungen der ersten zwei Differentialgleichungen haben wir schon berechnet: f mit f(t) = ‒ 1 _ 10 sin(t) – 1 _ 5 cos(t) für die erste und g mit g(t) = ‒ 5 _ 4 e t für die zweite. Daher ist f + g mit (f + g)(t) = ‒ 1 _ 10 sin(t) – 1 _ 5 cos(t) ‒ 5 _ 4 e t eine Lösung von y’’ – 2y’ – 3y = s mit s(t) = cos(t) + 5e t . Die Lösungsmenge ist { f mit f(t) = ‒ 1 _ 10 sin(t) – 1 _ 5 cos(t) – 5 _ 4 e t + ce ‒t + de 3t † c, d * R } . 702 Löse die inhomogene Differentialgleichung. a. y’’ + 3y’ + 2y = s mit s(t) = 2 + cos(t) c. y’’ – 5y’ + 6y = s mit s(t) = sin(2t) + t b. y’’ – 5y’ + 6y = s mit s(t) = 3te t + sin(t) d. y’’ + 3y’ + 2y = s mit s(t) = t + e t 703 Löse die Anfangswertaufgabe. a. y’’ – 2y = 1, y(0) = 1 _ 2 und y’(0) = 9 _ 2 b. y’’ – 2y’ + 2y = s mit s(t) = e 2t + 1, y(0) = 1 _ 2 und y’(0) = 1 c. y’’ + 3y’ – 4y = s mit s(t) = t + 1, y(0) = 1 und y’(0) = 2 d. y’’ – 3y’ + 4y = s mit s(t) = cos(t), y(0) = 0 und y’(0) = 1 704 Auf ein gedämpftes Feder-Masse-System mit Masse m und Federkonstante k wirken die äußere Kraft F und eine Dämpfung mit Dämpfungskonstante d. Dann ist die Funktion y, die jeder Zeit t º 0 die Auslenkung y(t) der Masse von der Ruhelage zur Zeit t zuordnet, eine Lösung der Differentialgleichung m·y’’ + d·y’ + k·y = F. a. Ermittle die Funktion y mit y(0) = 3m und y’(0) = 0m/s für m = 2 kg, d = 5 kg/s, k = 10N/m und F = 20N. b. Zeichne den Graphen der Funktion y (über der positiven x-Achse) aus Aufgabe a. in ein Diagramm. B B B B B B die Lösungs- menge einer inhomogenen linearen Differential- gleichung berechnen B B B A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv