Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

185 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 693 Ermittle eine Lösung der Differentialgleichung y’’ – 2y’ – 3y = s mit s(x) = cos(x). Gib dann die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung an. Die Ableitung von Linearkombinationen der Sinus- und Cosinusfunktion sind wieder Linear- kombinationen von diesen Funktionen. Da die Störfunktion die Cosinusfunktion ist, suchen wir nach einer Linearkombination f mit f(x) = A·sin(x) + B·cos(x), die eine Lösung der gegebenen Differentialgleichung ist. Für alle reellen Zahlen x ist f’’(x) – 2f’(x) – 3f(x) = = A·sin’’(x) + B·cos’’(x) – 2(A·sin’(x) + B·cos’(x)) – 3·(A·sin(x) + B·cos(x)) = = ‒A·sin(x) – B·cos(x) – 2(A·cos(x) – B·sin(x)) – 3(A·sin(x) + B·cos(x)) = = (‒ 4A + 2B)·sin(x) + (‒ 2A – 4B)·cos(x). Wenn f eine Lösung ist, dann muss für alle reellen Zahlen x (‒ 4A + 2B)·sin(x) + (‒ 2A – 4B)·cos(x) = cos(x) sein. Mit x = π _ 2 erhalten wir ‒ 4A + 2B = 0 und für x = 0 erhalten wir ‒ 2A – 4B = 1, daraus folgt A = ‒ 1 _ 10 und B = ‒ 1 _ 5 . Also ist die Funktion f mit f(x) = ‒ 1 _ 10 sin(x) – 1 _ 5 cos(x) eine (partikuläre) Lösung. Als Lösungsmenge der homogenen Differentialgleichung y’’ – 2y’ – 3y = 0 erhalten wir {f mit f(x) = ce ‒x + de 3x ‡ c, d * R }, weil die charakteristische Gleichung x 2 – 2x – 3 = 0 die Lösungen ‒1 und 3 hat. Also ist die Lösungsmenge von y’’ – 2y’ – 3y = s mit s(x) = cos(x) gleich { f mit f(x) = ‒ 1 _ 10 sin(x) – 1 _ 5 cos(x) + ce – x + de 3x † c, d * R } . Anders formuliert: f mit f(x) = ‒ 1 _ 10 sin(x) – 1 _ 5 cos(x) + ce – x + de 3x ist eine allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung. 694 Ermittle eine Lösung der Differentialgleichung y’’ – 2y’ – 3y = s mit s(x) = 5e cx . Dabei ist c eine vorgegebene reelle Zahl. Gib dann die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung an. Die Ableitung von Vielfachen der Funktion s mit s(x) = 5e cx ist wieder ein Vielfaches dieser Funk- tion. Daher suchen wir nach einem Vielfachen k·s von s, das eine Lösung von y’’ – 2y’ – 3y = s ist. Es ist ks’’ – 2k·s’ – 3k·s = k(c 2 ·s – 2c·s – 3s). Wenn k·s eine Lösung ist, dann muss k(c 2 – 2c – 3)s = s sein. Falls c 2 – 2c – 3 ≠ 0 ist, können wir k = 1 __ c 2 – 2c – 3 wählen. Dann ist 2 1 __ c 2 – 2c – 3 3 s eine (partikuläre) Lösung. Wenn aber c 2 – 2c – 3 = 0, also c = ‒1 oder c = 3 ist, dann müssen wir uns etwas anderes über- legen: Versuchen wir es mit der Funktion g mit g(x) = k·x·s(x) anstatt k·s. Man rechnet nach, dass für alle Zahlen x (g’’ – 2·g’ – 3·g)(x) = k·(c 2 – 2c – 3)x·s(x) + 2·k·(c – 1)·s(x) = 2k(c – 1)·s(x) ist. Daher ist g genau dann eine Lösung, wenn 2k(c – 1) = 1, also k = 1 _ 2c – 2 ist. Die Lösungsmenge der homogenen Differentialgleichung y’’ – 2y’ – 3y = 0 ist {f mit f(t) = a·e ‒t + b·e 3t ‡ a, b * R }, also ist die Lösungsmenge von y’’ – 2y’ – 3y = s gleich  { f mit f(t) = 5 __ c 2 – 2c – 3 e ct + a·e ‒t + b·e 3t † a, b * R } , wenn c nicht ‒1 oder 3 ist,  { f mit f(t) = 5 _ 2c – 2 t·e ct + a·e ‒t + b·e 3t † a, b * R } , wenn c = ‒1 oder c = 3 ist. eine Differential- gleichung lösen, deren Störfunktion eine Sinus- oder Cosinus- funktion ist B ggb m2x7iw eine Differential- gleichung lösen, deren Störfunktion eine Exponential- funktion ist B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv