Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

184 Differentialgleichungen Nicht immer ist eine partikuläre Lösung so leicht zu finden. Wir können aber für einige Störfunk- tionen Tipps angeben, um partikuläre Lösungen zu finden. Wir beobachten, dass die Ableitungen von Funktionen eines bestimmten Typs wieder Funktionen dieses Typs sind:  Die Ableitungen von Polynomfunktionen sind wieder Polynomfunktionen.  Die Ableitungen von allgemeinen Sinusfunktionen sind wieder allgemeine Sinusfunktionen, denn: Ist f die Funktion mit f(t) = A·sin( ω t + α ), dann ist f’ die Funktion mit f’(t) = A· ω ·cos( ω t + α ) = A· ω ·sin 2 ω t + 2 α + π _ 2 3 3 .  Die Ableitungen von Vielfachen von Exponentialfunktionen sind wieder Vielfache von Exponentialfunktionen, denn: Ist f die Funktion mit f(t) = ce ω t , dann ist f’(t) = ω ce ω t . Linearkombinationen von Funktionen dieses Typs haben auch diese Eigenschaft: Ihre Ableitung ist wieder eine solche Linearkombination. Tipp Das legt nahe: Wenn die Störfunktion eine Polynomfunktion, eine allgemeine Sinusfunktion oder ein Vielfaches einer Exponentialfunktion ist, dann suchen wir eine Linearkombination von Funkti- onen desselben Typs, die eine partikuläre Lösung ist. 689 Finde irgendeine Lösung der Differentialgleichung y’’ + 3y’ – 4y = s, dabei ist s die Potenzfunktion mit s(x) = x 2 . Gib dann die Lösungsmenge dieser Differentialgleichung an. Die Störfunktion ist eine Polynomfunktion. Daher suchen wir nach einer Polynomfunktion p, die eine Lösung dieser Differentialgleichung ist. Da die Störfunktion den Grad 2 hat und durch Differenzieren der Grad um 1 gesenkt wird, nehmen wir an, dass diese Polynomfunktion p Grad 2 hat, also für alle Zahlen x die Form p(x) = Ax 2 + Bx + C hat. Dann ist (p’’ + 3p’‒ 4p)(x) = 2A + 3·(2Ax + B) – 4(Ax 2 + Bx + C). Wenn p eine Lösung ist, dann muss für alle Zahlen x 2A + 6Ax + 3B – 4Ax 2 – 4Bx – 4C = x 2 sein. „Koeffizientenvergleich“ ergibt dann: 2A + 3B – 4C = 0, 6A – 4B = 0 und ‒ 4A = 1. Daraus erhalten wir A = ‒ 1 _ 4 , B = ‒ 3 _ 8 , C = ‒ 13 _ 32 , also ist die Polynomfunktion p mit p(x) = ‒ 1 _ 4 x 2 – 3 _ 8 x – 13 _ 32 eine Lösung. Die Lösungsmenge der homogenen Differentialgleichung y’’ + 3y’ – 4y = 0 ist {f mit f(x) = ce x + de ‒4x ‡ c, d * R }, also ist die Lösungsmenge von y’’ + 3y’ – 4y = s mit s(x) = x 2 gleich { f mit f(x) = ‒ 1 _ 4 x 2 – 3 _ 8 x – 13 _ 32 + ce x + de ‒4x † c, d * R } . Anders formuliert: Eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung y’’ + 3y’‒ 4y = s mit s(x) = x 2 ist f mit f(x) = ‒ 1 _ 4 x 2 – 3 _ 8 x – 13 _ 32 + ce x + de ‒4x . 690 Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ – 3y’ = s. a. s(x) = 2 – 6x b. s(x) = 12x – 13 c. s(x) = 6x – 5 691 Ermittle die Lösungsmenge der Differentialgleichung y’’ + 5y’ + 6y = s. a. s(x) = 6x 2 + 22x + 9 b. s(x) = 3x 2 ‒7x – 9 c. s(x) = ‒ 24x 2 ‒10x + 17 692 Löse die Differentialgleichung y’’ + y’ + 5 _ 2 y = s, dabei ist s die Funktion mit s(x) = 5x 2 + 14x + 8. eine Differential- gleichung lösen, deren Störfunktion eine Polynom- funktion ist B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv