Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

183 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 686 Auf ein gedämpftes Feder-Masse-System mit Masse m und Federkonstante k wirkt keine äußere Kraft, aber eine Dämpfung mit Dämpfungskonstante d. Dann ist die Funktion y, die jeder Zeit t º 0 die Auslenkung y(t) der Masse von der Ruhelage zur Zeit t zuordnet, eine Lösung der Differentialgleichung m·y’’ + d·y’ + k·y = 0. a. Ermittle die Funktion y mit y(0) = 5m und y’(0) = 0m/s für m = 800g, d = 10kg/s und k = 15N/m. b. Zeichne den Graphen der Funktion y aus Aufgabe a. und beschreibe ihr Verhalten. c. Ermittle die Funktion y mit y(0) = 2m und y’(0) = 0m/s für m = 0,5 kg, d = 1 kg/s und k = 5N/m. d. Zeichne den Graphen der Funktion y aus Aufgabe c. und beschreibe ihr Verhalten. 687 Wenn ein sich ein Turmdrehkran dreht und dann plötzlich abstoppt, kommt es zur Verdrehung des vertikalen Teils des Krangerüsts. Dieser Vorgang kann durch eine Differentialglei- chung α ’’ + k _ I · α ’ + μ _ I · α = 0 beschrieben werden. Dabei ist α die Funktion die jedem Zeitpunkt t den Winkel α (t) zwischen dem Kranarm in Ruhe und dem Kranarm in verdrehter Stellung zuordnet. Mit k bezeichnen wir die Dämpfungskonstante, mit I das Trägheitsmoment und mit m eine Konstante, die die Steif- heit angibt. Nimm vereinfachend an, dass k = 0 ist. Löse dann die Differentialgleichung. Inhomogene lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 Bei der Beschreibung eines elektrischen Schwingkreises oder einer an einer Feder schwingen- den Masse durch eine homogene lineare Differentialgleichung haben wir angenommen, dass diese Systeme von außen nicht beeinflusst werden. Man nennt diesen Vorgang dann eine freie Schwingung . Wenn aber auf das System eine äußere Kraft wirkt, spricht man von einer erzwun- genen Schwingung . Diese wird durch eine inhomogene Differentialgleichung beschrieben, deren „linke Seite“ y’’ + ay’ + by dieselbe wie für eine freie Schwingung ist, aber deren „rechte Seite“ s nun nicht mehr die Nullfunktion ist, sondern eine Funktion, welche die „Störung“ beschreibt. Wir wissen bereits, dass es genügt eine Lösung („eine partikuläre Lösung“) f der inhomogenen Differentialgleichung zu berechnen. Dann erhält man jede Lösung, indem man beliebige Lösungen der entsprechenden homogenen Differentialgleichung zu f addiert. 688 a. Berechne die Lösungsmenge der linearen Differentialgleichung y’’ – 5y’ + 6y = 6. b. Berechne eine Lösung mit y(0) = 2 und y’(0) = 0. a. In Aufgabe 673 haben wir bereits gesehen, dass die Lösungsmenge der homogenen Differentialgleichung y’’ – 5y’ + 6y = 0 die Menge aller Funktionen f mit f(x) = c·e 2x + d·e 3x , für beliebige Zahlen c und d ist. Weil 1’’ – 5·1’ + 6·1 = 6 ist, ist die konstante Funktion 1 eine (partikuläre) Lösung der Differentialgleichung y’’ – 5y’ + 6y = 6 und ihre Lösungsmenge ist die Menge aller y mit y(t) = 1 + ce 2t + de 3t , für beliebige reelle Zahlen c und d. b. Es ist y(0) = 1 + c + d = 2 und y’(0) = 2c + 3d = 0. Daraus folgt c = 3 und d = ‒ 2. Daher ist y mit y(t) = 1 + 3e 2t – 2e 3t die Lösung der Anfangswertaufgabe y’’ – 5y’ + 6y = 6, y(0) = 2 und y’(0) = 0. A, B, C A, B h einer lineare Differential- gleichung und eine Anfangswert- aufgabe der Ordnung 2 lösen ggb/mcd/tns tv7c7n B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv