Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

18 Grundlagen der Stochastik Wir nennen die Zahl n! __ k!·(n – k)! Binomialkoeffizient und schreiben 2 n k 3 = n! __ k!·(n – k)! . Dabei sind n und k natürliche Zahlen mit 0 ª k ª n. Die Anzahl der Möglichkeiten k Elemente aus n Elementen auszuwählen (oder die Anzahl der Teilmengen mit k Elementen in einer Menge mit n Elementen) ist 2 n k 3 (sprich „n über k“). Wegen 0! = 1 ist 2 n 0 3 = 2 n n 3 = 1 . 56 Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, beim Lotto „6 aus 45“ sechs der 45 Zahlen auszuwählen. Variante 1: Kreuzen wir die sechs Zahlen der Reihe nach an, dann haben wir folgende Möglichkeiten: 1. Kreuz: 45 Möglichkeiten 2. Kreuz: 44 Möglichkeiten 6. Kreuz: 40 Möglichkeiten Es gibt also 45·44·43·42·41·40 Möglichkeiten, der Reihe nach sechs Zahlen anzukreuzen. Allerdings kommt es beim Lotto ja nicht darauf an, in welcher Reihenfolge die sechs Zahlen angekreuzt wurden. Da es 6! Möglichkeiten gibt, dieselben sechs Zahlen in unterschiedlichen Reihenfolgen anzukreuzen und wir alle diese 6! Möglichkeiten als eine einzige Auswahl ansehen müssen, ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus 45 Zahlen 6 aus- zuwählen 45·44·43·42·41·40 ___ 6! = 8145060. Variante 2: Aus einer Menge von 45 Zahlen ist eine Teilmenge von 6 Zahlen auszuwählen. Dafür gibt es 2 45 6 3 = 45! _ 6!·39! = 8145060 Möglichkeiten. 57 Berechne ohne Taschenrechner, indem du so viel wie möglich kürzt. a. 2 5 2 3 = c. 2 10 4 3 = e. 2 20 2 3 = g. 2 100 98 3 = b. 2 12 4 3 = d. 2 10 6 3 = f. 2 20 18 3 = h. 2 50 48 3 = 58 Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n und k mit 0 ª k ª n stets 2 n k 3 = 2 n n – k 3 gilt. 59 Finde ohne zu Rechnen vier Paare von Binomialkoeffizienten, die das gleiche Ergebnis liefern. A 2 15 5 3 B 2 25 3 3 C 2 22 3 3 D 2 15 10 3 E 2 19 5 3 F 2 22 19 3 G 2 19 14 3 H 2 25 22 3 60 Von der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} sollen Teilmengen gebildet werden. Berechne die Anzahl der Teilmengen von M mit a. einem Element, b. zwei Elementen, c. drei Elementen, d. vier Elemen- ten, e. fünf Elementen und f. sechs Elementen. Erkläre deine Beobachtungen. 61 Bei einer Meinungsumfrage sollen aus einer Klasse mit 25 Schülerinnen und Schülern zufällig drei ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Berechne. 62 Aus einem Kartenspiel mit 52 verschiedenen Spielkarten sollen fünf Karten gezogen werden. Ermittle, wie viele Wahlmöglichkeiten es gibt. (Die Reihenfolge spielt keine Rolle.) ggb/mcd/tns u62x8f Binomial- koeffizient ggb/xls/mcd/tns i6xb82 Anzahl an Mög- lichkeiten mit dem Binomial- koeffizienten bestimmen B B D C B, C, D A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv