Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

177 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 671 Überprüfe, welche der Funktionen Lösungen der Differentialgleichung y’’ + 3·y’ – 4·y = – 4 sind. A g mit g(x) = x 2 C g mit g(x) = 2·e ‒4x – 7·e x + 1 B g mit g(x) = 1 D g mit g(x) = 4·e 2x 672 Berechne die Funktion s so, dass die Funktion f mit f(x) = x 2 eine Lösung von y’’ + y’ + 5y = s ist. Homogene lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 Wir werden nun das Lösen einer homogenen linearen Differentialgleichung der Ordnung 2 auf das Lösen von zwei linearen Differentialgleichungen der Ordnung 1 zurückführen. Wir betrachten zuerst das folgende Beispiel: Wenn g eine Lösung von y’’ – 2y’ = 0 ist, dann ist g’’– 2g’ = (g’ – 2g)’ = 0. Wegen (g’ – 2g)’ = 0 muss g’ – 2g eine konstante Funktion c sein. Somit ist g eine Lösung der linearen Differentialgleichung y’ – 2y = c der Ordnung 1. Wir wissen bereits, wie man diese löst und erhalten g mit g(x) = ‒ c _ 2 + d·e 2x , für eine reelle Zahl d. Wir haben damit gezeigt, dass jede Lösung der Differentialgleichung y’’ – 2y’ = 0 durch die Wahl von zwei reellen Zahlen c und d eindeutig festgelegt ist. Diese zwei Zahlen können beliebig gewählt werden. Wir versuchen nun, jede Differentialgleichung y’’ + ay’ + by = 0 auf diese Weise zu lösen: Wir versuchen, reelle Zahlen u und v so zu finden, dass (y’ – uy)’ – v(y’ – uy) = y’’ + ay’ + by ist. Für jede Lösung f von y’’ + ay’ + by = 0 muss dann (f’ – uf)’ = v(f’ – uf), also f’ – uf eine Lösung der Differentialgleichung y’ – v·y = 0 sein. Wir wissen bereits, dass dann für alle Zahlen x (f’ – uf)(x) = r·e vx ist, wobei die Zahl r beliebig gewählt werden kann. Die Funktion f muss daher eine Lösung der linearen Differentialgleichung der Ordnung 1 y’ – uy = s mit s(x) = r·e vx sein. Aus Abschnitt 4.1 folgt: Wenn u und v verschieden sind, ist f die Funktion mit f(x) = r _ v – u ·e vx + d·e ux , dabei können r und d beliebig gewählt werden. Können solche Zahlen u und v immer berechnet werden? Für u und v müsste gelten: y’’ + ay’ + by = (y’ – uy)’ – v(y’-uy) = y’’ – uy’ – vy’ + uvy = y’’ – (u + v)y’ + (u·v)·y Es muss also ‒ (u + v) = a und u·v = b sein. Erinnern wir uns an quadratische Gleichungen: Wenn die quadratische Gleichung x 2 + ax + b = 0 zwei reelle Lösungen u und v hat, dann ist x 2 + ax + b = (x – u)·(x – v), also ‒ (u + v) = a und u·v = b. Die gesuchten Zahlen u und v sind daher die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + ax + b = 0. Die quadratische Gleichung x 2 + ax + b = 0 heißt die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y’’ + ay’ + by = 0. B, D B charakteristische Gleichung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv