Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

176 Differentialgleichungen Beispiel: Die Aufgabe „Beschreibe die Menge aller zweimal differenzierbaren Funktionen y: R ¥ R , mit y’’ + 3y’ + 2y = 4.“ ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten 3 und 2, die Störfunktion ist die konstante Funktion 4. Die Aufgabe „Finde eine zweimal differenzierbare Funktionen y: R ¥ R , mit y’’ + 3y’ + 2y = 4, y(1) = 1 und y’(1) = 2.“ ist eine Anfangswertaufgabe der Ordnung 2. Bei linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten haben wir beobachtet:  Summen und Vielfache von Lösungen von homogenen linearen Gleichungen sind wieder Lösungen. Wir haben das durch „Linearkombinationen von Lösungen homogener linearer Gleichungen sind wieder Lösungen“ zusammengefasst.  Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung erhalten wir, indem wir irgendeine Lösung dieser Gleichung bestimmen und dazu alle Lösungen der entsprechenden homogenen linearen Gleichung addieren. Dasselbe gilt für lineare Differentialgleichungen. Wenn zum Beispiel g und h Lösungen der Differentialgleichung y’’ + a·y’ + b·y = 0 sind, dann ist g’’ + a·g’ + b·g = 0 und h’’ + a·h’ + b·h = 0, also auch (g + h)’’ + a·(g + h)’ + b·(g + h) = g’’ + h’’ + a·g’ + a·h’ + b·g + b·h = = (g’’ + a·g’ + b·g) + (h’’ + a·h’ + b·h) = 0 + 0 = 0. Ebenso einfach prüfen wir die anderen, uns für lineare Gleichungen bereits bekannten Eigenschaften nach.  Summen und Vielfache von Lösungen von homogenen linearen Differentialgleichungen sind wieder Lösungen. Anders formuliert: Linearkombinationen von Lösungen homogener linearer Differentialgleichungen sind wieder Lösungen.  Die Lösungsmenge einer linearen Differentialgleichung erhalten wir, indem wir irgendeine Lösung dieser Differentialgleichung bestimmen (diese nennt man oft partikuläre Lösung ) und dazu alle Lösungen der entsprechenden homogenen linearen Differentialgleichung addieren. Oft wird das so formuliert: „Eine allgemeine Lösung ist die Summe einer partikulären Lösung und einer Lösung der homogenen Differentialgleichung.“  In Kurzschreibweise: Ist L die Lösungsmenge einer linearen Differentialgleichung und L 0 die Lösungsmenge der entsprechenden homogenen Differentialgleichung, dann gilt: Für alle Zahlen c, d und alle Elemente f, g von L 0 ist auch c·f + d·g * L 0 . Ist y * L, dann ist L = {y + z ‡ z * L 0 }. 667 Bestimme die Lösungsmenge der linearen Gleichung 2u + 3v = 0 und dann die Lösungsmengen der Gleichungen 2u + 3v = 2 und 2u + 3v = 3, ohne irgendeine Rechnung auszuführen. 668 Bestimme die Lösungsmenge der linearen Gleichung 3u – v + w = 0 und dann die Lösungs- mengen der Gleichungen 3u – v + w = 2 und 3u – v + w = ‒1. 669 Zeige: Ist f eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + a·y’ + b·y = s und g eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + a·y’ + b·y = u (dabei sind a, b Zahlen und s, u Funktionen), dann ist 2f + 3g eine Lösung der Differentialgleichung y’’ + a·y’ + b·y = 2s + 3u. 670 Überprüfe, welche der Funktionen Lösungen der Differentialgleichung y’’ + 3y’ ‒ 4y = 0 sind. A f mit f(x) = 4·e x C f mit f(x) = e ‒4x B f mit f(x) = sin(x) D f mit f(x) = 3·e ‒4x + 5·e x Beschrei- bung der Lösungsmenge einer linearen Differential- gleichung der Ordnung 2 A A D B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv