Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

175 4.2 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten Ich lerne lineare Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten zu lösen. Ich lerne Anfangswertaufgaben mit linearen Differentialgleichungen der Ordnung 2 mit kon- stanten Koeffizienten zu lösen. Ich lerne die Lösungsfälle der linearen Schwingungsgleichung mit konstanten Koeffizienten kennen und entsprechende Aufgaben zu lösen. Was ist eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2? Was haben die Bewegung einer kleinen, an einer Feder befestigten Kugel und der Stromfluss in einem elektrischen Schwingkreis (mit Kondensator, Spule und Ohmschem Widerstand) gemein- sam? Beide werden durch eine Funktion von R nach R beschrieben, die Lösung einer „linearen Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten“ ist. Wenn y(t) den Ort der Kugel zur Zeit t beschreibt und i(t) die Stromstärke in einem elektrischen Reihenschwingkreis zur Zeit t, dann ist die Funktion y eine Lösung von y’’ + 2 μ ·y’ + k _ m y = 0 und die Funktion i eine Lösung von i’’ + R _ L i’ + 1 _ LC i = 0. Dabei sind μ , k, m, L, C und R vorgegeben. Nach Wahl einer Einheit werden diese Größen durch eine Zahl, ihre Maßzahl, eindeutig beschrieben. Der Einfachheit halber verwenden wir manchmal, wenn keine Verwechslung möglich ist, für die Größe und ihre Maßzahl denselben Buchstaben. Mit M bezeichnen wir immer ein offenes Intervall oder eine offene Halbgerade oder ganz R . Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind reelle Zahlen a und b und eine Funktion s: M ¥ R . Beschreibe die Menge aller zweimal differenzierbaren Funktionen f: M ¥ R , mit f’’ + a·f’ + b·f = s.“ eine lineare Differentialgleichung der Ordnung 2 mit konstanten Koeffizienten. Eine zweimal differenzierbare Funktionen f: M ¥ R , mit f’’ + a·f’ + b·f = s heißt Lösung dieser Differentialgleichung. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge der Differentialgleichung. Wir schreiben für diese Aufgaben kurz „(Löse) die Differentialgleichung f’’ + a·f’ + b·f = s.“ Statt f kann jedes andere Zeichen verwendet werden, häufig wird y verwendet. Die Zahlen a und b heißen Koeffizienten der linearen Differentialgleichung, die Funktion s wird Störfunktion genannt. Wenn s die Nullfunktion ist, heißt die Differentialgleichung homogen , sonst inhomogen . Wird nicht die Menge aller Lösungen einer linearen Differentialgleichung der Ordnung 2 gesucht, sondern nur eine Lösung f, von welcher der Funktionswert und der Funktionswert ihrer Ableitung an einer Stelle t 0 durch r 1 und r 2 vorgegeben sind, dann spricht man von einer linearen Anfangs- wertaufgabe der Ordnung 2 . Wir schreiben dafür kurz „Löse die Anfangswertaufgabe f’’ + a·f’ + b·f = s, f(t 0 ) = r 1 und f’(t 0 ) = r 2 “. lineare Differential- gleichung der Ordnung 2 Koeffizienten Störfunktion lineare Anfangswert- aufgabe der Ordnung 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv