Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

174 Differentialgleichungen 660 An eine Spule mit der Induktivität 0,5H wird zur Zeit 0 s über einen Ohmschen Widerstand von 50 Ω eine Gleichspannung der Stärke 100V angelegt. Zeichne die Graphen der Funktionen i und u L , die jedem Zeitpunkt t die Stromstärke i(t) und die Spannung u L (t) an der Spule zur Zeit t zuordnen. Nimm an, dass i(0) = 0,8A ist. 661 Ein mit einem Widerstand R verbundener Kondensator mit Kapazität C wird durch eine Ladespannung U 0 aufgeladen. Mit u C (t) bzw. i(t) bezeichnen wir die Spannung bzw. Stromstärke am Kondensator zur Zeit t (nach Beginn des Ladevorgangs). Aus der Elektrizitätslehre ist bekannt:  Es ist i = C·u C ’.  Die Spannung am Widerstand R ist u R = R·i = R·C·u C ’.  Nach der Kirchhoff’schen Maschenregel ist u R + u C = U 0 . Finde eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung die Funktion u C ist und berechne die Funktion u. 662 An eine stromlose Spule mit der Induktivität L wird über einen Ohmschen Widerstand R eine sinusförmige Wechselspannung mit der Amplitude U 0 und der Kreis- frequenz ω angelegt. Mit i(t) bezeichnen wir die Strom- stärke an der Spule zur Zeit t nach dem Anlegen der Wechselspannung. Zur Zeit t ist nach der Kirch- hoff’schen Maschenregel i(t)·R + L·i’(t) = U 0 ·sin( ω t). Daher ist die Funktion i eine Lösung der Differentialgleichung i’ + R _ L i = 1 _ L U 0 ·sin( ω t). a. Berechne die Funktion i für beliebige U 0 , R, L und ω , wenn i(0) = 0 ist. b. Ermittle die Funktion i für U 0 = 100V, R = 2 Ω , L = 0,1H und ω = 20 s ‒1 , wenn i(0) = 0 ist. Skizziere ihren Graphen. Hinweis: Für reelle Zahlen a, b ist : e a·x ·sin(bx) dx = e a·x _ a 2 + b 2 ·[a·sin(bx) – b·cos(bx)]. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 mit konstanten Koeffizienten aufstellen und deren Lösungsmenge bestimmen. 663 Löse die lineare Differentialgleichung y’ – 2y = s mit s(t) = t + 3. 664 Beim Zerfall eines radioaktiven Elements gilt, dass zu jedem Zeitpunkt die momentane Ände- rungsrate der Stoffmenge proportional zur vorhanden Stoffmenge ist. a. Finde eine Differentialgleichung, die diesen Zusammenhang beschreibt. b. Löse die Differentialgleichung allgemein. c. Bestimme eine Lösung, wenn die Halbwertszeit des Elements 5,3 Jahre beträgt. Ich kann lineare Anfangswertprobleme der Ordnung 1 mit konstantem Koeffizienten lösen. 665 Löse die Anfangswertaufgabe y’ + y = 3 und y(0) = 1. 666 Nach dem Abkühlungsgesetz von Newton ist die momentane Änderungsrate der Temperatur T zur Zeit t proportional zur Differenz der Temperatur T und der Umgebungstemperatur T u . a. Beschreibe den Zusammenhang durch eine Differentialgleichung. b. Löse die Differentialgleichung. c. Auf der Terrasse einer Schihütte wird eine Tasse Gulaschsuppe mit einer Temperatur von 90° serviert. Berechne, wann die Suppe auf 35° abgekühlt ist, wenn die Temperatur auf der Terrasse 10 °C beträgt und die Suppe nach 4min noch eine Temperatur von 60° hatte. A, B t = 0s R U 0 u R u C C A, B L U 0 ∙ sin( ċ t) u L t = 0s R u R A, B B A, B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv