Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

173 4.1 Lineare Differentialgleichungen der Ordnung 1 658 Die Funktion v ordnet jeder Zeit t in Sekunden die Geschwindigkeit einer Kugel mit Radius r, die in einem ölgefüllten Gefäß sinkt, nach der Zeit t zu. Man weiß, dass v eine Lösung der Differentialgleichung m·v’ = m·g – 6· π · η ·r·v – ρ · 4r 3 π _ 3 ·g. Ist. Dabei ist m die Masse der Kugel in kg, g die Erdbeschleunigung, η ist die Viskosität des Öls und ρ die Dichte des Öls. a. Löse diese Differentialgleichung. b. Bestimme eine Lösung für m = 0,8 kg, η = 0,5 kg _ m·s , ρ = 0,9 kg _ l und r = 3 cm. c. Berechne mithilfe der Lösung aus Aufgabe c. wie schnell die Kugel nach einer Sekunde sinkt. 659 An eine Spule mit der Induktivität L wird zur Zeit 0 s über einen Ohmschen Widerstand R eine Gleichspannung der Stärke U 0 angelegt. a. Modelliere die Funktion i, die jedem Zeitpunkt t die Strom- stärke i(t) an der Spule zur Zeit t zuordnet, durch eine Dif- ferentialgleichung. b. Löse diese Differentialgleichung für i(0) = 0A, U 0 = 100V, R = 50 Ω und L = 0,5H. c. Ermittle die Funktion u L , die jeder Zeit t die Spannung u L (t) an der Spule zu dieser Zeit zuord- net, und zeichne die Graphen der Funktionen i und u L . a. Aus der Maschenregel folgt u R + u L = U 0 . Weiters ist u R = i·R und u L = L·i’, also erhalten wir L·i’ + R·i = U 0 . Die Funktion i ist also eine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung y’ + R _ L y = 1 _ L U 0 . b. Die Funktion h mit h(t) = e ‒ R _ L ·t ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y’ + R _ L y = 0. Wir berechnen eine Stammfunktion g von g’ mit g’(t) = 1 _ L ·U 0 ·e R _ L ·t . Eine solche ist g mit g(t) = 1 _ R ·U 0 ·e R _ L ·t . Dann ist f mit f(t) = 1 _ R ·U 0 ·e R _ L ·t ·e ‒ R _ L ·t = 1 _ R ·U 0 eine (partikuläre) Lösung. Für die Lösung i mit i(t) = 1 _ R ·U 0 + c·e ‒ R _ L ·t und i(0) = 0 ist 0 = i(0) = 1 _ R ·U 0 + c·e ‒ R _ L ·0 = 1 _ R ·U 0 + c, also c = ‒ 1 _ R ·U 0 . Zur Zeit t ist die Stromstärke an der Spule i(t) = 1 _ R U 0 ·(1 – e ‒ R _ L ·t ). Für U 0 = 100V, R = 50 Ω , L = 0,5H ist also i(t) = 2· 2 1 – e ‒100t 3 A. c. u L mit u L (t) = L·i’(t) = U 0 ·e ‒ R _ L ·t . Für U 0 = 100V, R = 50 Ω , L = 0,5H ist also u L (t) = 100·e ‒100t V. A, B t = 0s L R U 0 tns 75z2sz Einschalten einer Gleich- spannung an einer Spule A, B t[s] i[A] 0,4 0 0,8 1,2 1,6 2 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 t[s] u[V] 20 0 40 60 80 100 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv