Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

172 Differentialgleichungen 653 Nach dem Newton’schen Abkühlungsgesetz gilt T’ = ‒p·(T – T u ), also ist die momentane Ände- rungsrate der Temperatur proportional zur Differenz der Temperatur eines Körpers T und der Umgebungstemperatur T u . Ein Gerichtsmediziner untersucht eine Leiche, die um 9 Uhr morgens eine Restkörpertemperatur von 10 °C und 2 Stunden später eine Temperatur von 8 °C hat. Die Umgebungstemperatur war konstant bei 4 °C. a. Löse die Differentialgleichung zunächst allgemein. b. Finde die spezielle Abkühlfunktion für die Leiche unter den oben genannten Bedingungen. c. Bestimme, wann der Tod eingetreten ist, wenn davon ausgegangen werden kann, dass zum Zeitpunkt des Todes der Körper eine Temperatur von 37°C hatte. 654 Ein Stein mit Masse m fällt von einem Bergvorsprung senkrecht durch die Luft nach unten. Mit v bezeichnen wir die Funktion, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit v(t) des Steins zu dieser Zeit zuordnet. Die Beschleunigung des Steins zur Zeit t ist dann v’(t). Zu Beginn dieses Kapitels haben wir uns überlegt, dass die Funktion v eine Lösung der Differentialgleichung m·v’ + k·v = m·g mit der Anfangsbedingung v(0) = 0 ist. a. Berechne die Funktion v. b. Ermittle die Beschleunigung des Steins, also die Ableitung v’ von v. c. Zeichne die Graphen von v und v’. 655 Beschränktes Wachstum kann durch eine Funktion beschrieben werden, die Lösung der Differen- tialgleichung y’ = λ (K – y) ist. Dabei ist y die Funktion, die jedem Zeitpunkt t in Jahren die Größe des Bestandes zu diesem Zeitpunkt zuordnet, und K die höchst mögliche Größe des Bestandes. a. Beschreibe die Differentialgleichung mit Worten. b. Löse die Differentialgleichung. c. Bestimme eine Lösung, wenn K = 100 und der Bestand zu Beginn bei 60 und nach einem Jahr bei 73 lag. d. Berechne mithilfe der Lösung von Aufgabe c. , wann der Bestand bei 90 liegt. 656 Ein Motorboot hat eine Masse von 2000 kg und wird aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Kraft von 1 300N beschleunigt. Der Reibungswiderstand ist dabei k·v, also proportional zur Geschwindigkeit v. a. Die Funktion v ordnet jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit des Bootes zu. Beschreibe v als Lösung einer Differentialgleichung. b. Bestimme die Lösungsmenge der Differentialgleichung. c. Bestimme eine Lösung, wenn k = 40 kg/s ist. d. Berechne mithilfe der Lösung von Aufgabe c. , wie schnell das Boot nach 10 s ist. 657 Ein Wasserfahrzeug hat eine Masse von 1 800 kg und wird aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Kraft von 1600N beschleunigt. Der Reibungswiderstand K ist dabei proportional zur Geschwindigkeit v. a. Die Funktion v ordnet jedem Zeitpunkt die Geschwindigkeit des Wasserfahrzeugs zu. Gib eine Differentialgleichung an, die zur Bestimmung von v verwendet werden kann. b. Löse die Differentialgleichung. c. Bestimme eine Lösung, wenn k = 45 kg/s ist. d. Berechne mithilfe der Lösung aus Aufgabe c. , wann das Wasserfahrzeug die Geschwindigkeit 25 km/h erreicht. A, B A, B, C A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv